回归分析(三):多元线性回归模型

发布网友发布时间：2024-10-22 17:59

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热心网友时间：2024-10-22 19:18

本文基于Bovas Abraham和Johannes Ledolter的《回归分析入门》内容，主要阐述多元线性回归模型。首先，我们讨论一般模型，其表达式为[公式]，其期望值为[公式]，方差为[公式]。在有n个等式的情况下，协方差矩阵可以通过[公式]和[公式]计算。

模型估计的核心在于找到[公式]的估计值，通过最大化似然函数。向量形式下，最小二乘估计通过调整[公式]来最小化[公式]。当[公式]是满秩的，我们可以通过求解[公式]来得到[公式]，这是[公式]的最小二乘估计值。

用几何语言解释，[公式]可以表示为[公式]的子空间，其中[公式]是[公式]的线性组合。最小二乘目标是找到使[公式]最小的[公式]，这在[公式]满秩时，通过几何方法得到[公式]的估计。

固定值[公式]表示[公式]在[公式]上的垂直投影，而残差向量[公式]垂直于[公式]。对于残差的特性，不论模型是否充分，某些特性始终成立，而在模型正确时，其他特性也成立。对于统计推断，目标是构造置信区间和进行假设检验，如[公式]的分布和相关计算。

预测部分涉及新观测值的预测，与之前不同的是，预测误差的方差为[公式]。接着是附加平方和原理[公式]，这部分内容将在后续章节继续展开。方差分析和决定系数[公式]是模型评估的常用工具，而一般化的最小二乘则进一步扩展了模型应用的范围。

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