数学难题之实践操作

发布网友 发布时间：2024-10-22 21:59

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热心网友 时间：2024-11-05 14:10

无论长宽的比例是多少，只要折线的端点到顶点的距离和对应的长方形边长的比例相等，所得到不重叠的四个部分面积相等。

已知：E、F、G、H分别是长方形ABCD各边AB、BC、CD、DA上的点，并且AE/AB=BF/BC=CG/CD=DH/DA，EG和FH相交于O。求证：四个四边形AEOH、BFOE、CGOF、DHOG的面积相等。

证明：

首先证明O是长方形ABCD的中心。

因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，AB=CD，AB垂直于BC。

因为AE/AB=CG/CD，并且AB=CD，所以AE=CG，EB=GD。

同理，BF=DH，FC=HA。

分别延长OF和OH，交AB、CD的延长线于J、K（图中未画出）。

因为AB//CD，所以角J=角K，角OEJ=角OGK。

在直角三角形BJF和直角三角形DKH中，角J=角K，BF=DH，所以直角三角形BJF与直角三角形DKH全等，所以BJ=DK。

因为AB=CD，AE=CG，BJ=DK，所以EJ=GK。

在三角形OEJ和三角形OGK中，因为EJ=GK，角J=角K，角EOJ=角GOK，所以三角形OEJ和三角形OGK全等，所以O到AB的距离=O到CD的距离。

同理可证，O到BC的距离=O到DA的距离。

所以O是长方形ABCD的中心。

然后证明四个部分的面积相等。

分别连接OA、OB、OC、OD。

因为O是长方形ABCD的中心，所以四个三角形OAB、OBC、OCD、ODA的面积都等于长方形面积的四分之一，并且相等。

设AE/AB=BF/BC=CG/CD=DH/DA=m

则：三角形AEO面积=m*三角形ABO面积，三角形BFO面积=m*三角形BCO面积。

因为三角形ABO面积=三角形BCO面积

所以三角形AEO面积=三角形BFO面积

所以四边形EBFO面积=三角形EBO面积+三角形BFO面积=三角形EBO面积+三角形AEO面积=三角形ABO面积=长方形ABCD面积的四分之一。

同理可证，四边形FCGO面积=四边形GDHO面积=四边形DHAO面积=长方形ABCD面积的四分之一。

所以，四边形EBFO面积=四边形FCGO面积=四边形GDHO面积=四边形DHAO面积=长方形ABCD面积的四分之一。

追答全等也行。