高一数学题 已知三角形的三边长是三个连续非零自然数,若最大角是最小...
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发布时间：2024-10-22 06:53
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时间：6分钟前
解：设△ABC中，角A最大，角C最小，A=2C；那么a=n+1，b=n，c=n-1；n∈N；
B=180⁰-(A+C)=180⁰-(2C+C)=180⁰-3C；
由正弦定理，得(n-1)/sinC=(n+1)/sin(2C)=n/sin(180⁰-3C)=n/sin(3C)
由(n-1)/sinC=n/sin(3C)得：
(n-1)sin3C=nsinC；用三倍角的正弦公式代入得：(n-1)(3sinC-4sin³C)=nsinC；
因为sinC≠0，故可以用sinC除方程两边得(n-1)(3-4sin²C)=(n-1)(-1+4cos²C)=n，
故得cos²C=(2n-1)/[4(n-1)]..........(1)
由(n-1)/sinC=(n+1)/sin(2C)得：
(n-1)sin2C=(n+1)sinC，即有2(n-1)cosC=n+1，得cosC=(n+1)/[2(n-1)].........(2)
由(1)(2)得(2n-1)/[4(n-1)]=(n+1)²/[4(n-1)²]
(2n-1)(n-1)²=(n+1)²(n-1)；n≠1；故得(2n-1)(n-1)=(n+1)²；
展开化简得n²-5n=n(n-5)=0，故得n=5，即a=6，b=5，c=4.
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