设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证: 根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下...

发布网友 发布时间：2024-10-22 07:23

我来回答

共2个回答

热心网友 时间：2024-11-17 09:57

更强的结论为根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)<=√21
证明：√(4a+1)=√(3/7)*√(7/3)(4a+1)<=√(3/7)*(7/3+4a+1)/2=(2a+5/3)√3/7)
同理：√(4b+1)<=(2b+5/3)√(3/7)
同理：√(4c+1)<=(2c+5/3)√(3/7)
三个不等式相加得√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≤(2a+2b+2c+5)√(3/7)=√21
当且仅当a=b=c=1/3时等号成立。
证毕！

PS：楼上怎么证明的，看的头晕！I 服了U！

热心网友 时间：2024-11-17 10:02

由于根号下出来的数都是大于等于0的,所以可以对不等式两边进行平方

利用3项相加的和的平方公式展开

公式为:(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^+2ab+2ac+2bc

那么,原题就可以写成:4a+1+4b+1+4c+1+2*√[(4a+1)*(4b+1)]+......

即每两项的相乘,且两项在一个根号下

那么4a+1+4b+1+4c+1=7,不等式右边=25

即:3个根号项和要<18

约分约去2,即√[4a+1)*(4b+1)]+......<9

观察,[(4a+1)-(4b+1)]^2=4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1

又平方都是大于等于0的,即:

4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1>0

得到:2*√[(4a+1)*(4b+1]<4a+1+4b+1

同理:2*√[(4b+1)*(4c+1]<4b+1+4c+1

2*√[(4c+1)*(4a+1]<4c+1+4a+1

左右同时相加,得:2*√[(4a+1)*(4b+1]+......<4a+1+4b+1+......=14

即:√[(4a+1)*(4b+1]+......<7

而在前面化简以后的结果是:

√[4a+1)*(4b+1)]+......<9

故,得证.

热心网友 时间：2024-11-17 10:03

更强的结论为根号下(4a+1)+根号下(4b+1)+根号下(4c+1)<=√21
证明：√(4a+1)=√(3/7)*√(7/3)(4a+1)<=√(3/7)*(7/3+4a+1)/2=(2a+5/3)√3/7)
同理：√(4b+1)<=(2b+5/3)√(3/7)
同理：√(4c+1)<=(2c+5/3)√(3/7)
三个不等式相加得√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≤(2a+2b+2c+5)√(3/7)=√21
当且仅当a=b=c=1/3时等号成立。
证毕！

PS：楼上怎么证明的，看的头晕！I 服了U！

热心网友 时间：2024-11-17 10:04

由于根号下出来的数都是大于等于0的,所以可以对不等式两边进行平方

利用3项相加的和的平方公式展开

公式为:(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^+2ab+2ac+2bc

那么,原题就可以写成:4a+1+4b+1+4c+1+2*√[(4a+1)*(4b+1)]+......

即每两项的相乘,且两项在一个根号下

那么4a+1+4b+1+4c+1=7,不等式右边=25

即:3个根号项和要<18

约分约去2,即√[4a+1)*(4b+1)]+......<9

观察,[(4a+1)-(4b+1)]^2=4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1

又平方都是大于等于0的,即:

4a+1-2*√[(4a+1)*(4b+1]+4b+1>0

得到:2*√[(4a+1)*(4b+1]<4a+1+4b+1

同理:2*√[(4b+1)*(4c+1]<4b+1+4c+1

2*√[(4c+1)*(4a+1]<4c+1+4a+1

左右同时相加,得:2*√[(4a+1)*(4b+1]+......<4a+1+4b+1+......=14

即:√[(4a+1)*(4b+1]+......<7

而在前面化简以后的结果是:

√[4a+1)*(4b+1)]+......<9

故,得证.