设正整数数列{an}满足:a2=4,且对于任何n∈N*,有2+1an+1<1an+1an+11n...
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发布时间：2024-10-22 08:08
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时间：8分钟前
当n=1时，由2+1a2＜2(1a1+1a2)＜2+1a1，即有2+14＜2a1+24＜2+1a1，
解得23＜a1＜87．因为a1为正整数，故a1=1．
当n=2时，由2+1a3＜6(14 +1a3)＜2+14，解得8＜a3＜10，所以a3=9．
（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1，2时，由（1）知an=n2均成立；
②假设n=k（k≥2）成立，则ak=k2，则n=k+1时
由（1）得2+1ak+1＜k(k+1)(1k2+1ak+1)＜2+1k2
∴k3(k+1)k2?k+1＜ak+1＜k(k2+k?1)k?1
(k3+1?1)(k+1)2k3+1＜ak+1＜k[(k2+k)2?1]k3?1，
即(k3+1?1)(k+1)2k3+1＜ak+1＜k3(k+1)2?kk3?1
∴(k+1)2?(k+1)2k3+1＜ak+1＜(k+1)2+1k?1
因为k≥2时，（k3+1）-（k+1）2=k（k+1）（k-2）≥0，所以(k+1)2k3+1∈(0，1]．
k-1≥1，所以1k?1∈(0，1]．又ak+1∈N*，所以（k+1）2≤ak+1≤（k+1）2．
故ak+1=（k+1）2，即n=k+1时，an=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，
an=n2．
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