已知函数f(x)=lnx-ax2+x(a∈R)(1)求a的最大值,使函数f(x)在(0,+∞...

发布网友发布时间：2024-10-24 17:08

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（1）求导函数可得f′(x)＝1x?2ax+1
令f′(x)＝1x?2ax+1≥0，
∵x＞0，∴2a≤1x2+1x=(1x+12)2?14
∵x＞0，∴1x2+1x≥0
∴2a≤0，∴a最大值为0
f′(x)＝1x?2ax+1≤0，即-2ax2+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数
综上，a最大值为0；
（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0
∴a＞0
构造函数y1＝lnx，y2＝ax2?x
∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，
∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y1＜y2，即对于任意的x∈（0，+∞），y1=lnx在y2＝ax2?x的下方，
如图所示，
∴0＜1a≤1，
∴a≥1

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