设a,有正交矩阵c,使c^tac=,求常数a与矩阵c

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解: |A-λE| =
4-λ 1 1
1 4-λ 1
1 1 4-λ
= -(λ - 6)(λ - 3)^2.
所以A的特征值为: 3,3,6
解(A-3E)X = 0得基础解系: a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,0,-1)^T
解(A-6E)X = 0得基础解系: a3=(1,1,1)^T
将a1,a2,a3正交化得
b1=(1,-1,0)^T
b2=(1/2,1/2,-1)^T
b3=(1,1,1)^T
单位化得
c1 = (1/√2, -1/√2, 0)^T
c2 = (1/√6, 1/√6, -2/√6)^T
c3 = (1/√3, 1/√3,1/√3)^T
得正交矩阵C =
1/√2 1/√6 1/√3
-1/√2 1/√6 1/√3
0 -2/√6 1/√3
写出A 对应的二次型
f(x1,x2,x3)=4x1^2+4x2^2+4x3^2 +2x1x2+2x1x3+2x2x3
f 的标准形为: 3y1^2+3y2^2+6y3^2

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