若给定两个正整数m和n,试写出求他们的最大公因子(既能够同时整除m和n...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:22

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热心网友 时间：7分钟前

辗转相除法
开放分类： 数学、最大公约数

辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

证明：
设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq�1＋r�1（0≤r�1＜b）。若r�1=0，则(a，b)＝b；若r�1≠0，则再用r�1除b，得b＝r�1q�2＋r�2（0≤r�2＜r�1）。若r�2＝0，则(a，b)＝r�1，若r�2≠0，则继续用r�2除r�1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

[编辑] 算法

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则

(a,b) = (b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

[编辑] 虚拟码

这个算法可以用递归写成如下:

function (a, b) {
if a mod b<>0
return (b, a mod b);
else
return a;
}

或纯使用循环:

function (a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
r := a mod b;
a := b;
b := r;
}
return a;
}

其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

例如，123456 和 70 的最大公因子是 6, 这可由下列步骤看出：
a b a mod b
123456 70 5106
70 5106 2784
5106 2784 2322
2784 2322 462
2322 462 12
462 12 6
12 6 0

只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

辗转相除法的运算速度为 O(n2)，其中 n 为输入数值的位数。

热心网友 时间：5分钟前

辗转相除法

热心网友 时间：1分钟前

辗转相除法
辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。
证明：
设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。
[编辑] 算法
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则
(a,b) = (b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
另一种写法是：
1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）
若 r = 0，算法结束；b 即为答案。
2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。