找出(x+1)(x2+1)(x3+1)=30x3 的实数根

发布网友 发布时间：2024-10-23 16:50

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热心网友 时间：2024-11-06 09:32

原式整理，得：
x^6 + x^5 + x^4 - 28x^3 + x^2 + x + 1 = 0
分解因式，得：
（x^2-3x+1）（x^4+4x^3+12x^3+12x^2+4x+1）=0
即：
x^2-3x+1=0 ---(1)
x^4+4x^3+12x^3+12x^2+4x+1=0 ---(2)
（1）有实数根：
x=（3±√5）/2
(2)没有实数根

补充：
分解因式，得......

是凑出来的，有经验的成分。

热心网友 时间：2024-11-06 09:32

答案是4,详细过程如下:
解:由题意:f(x)=x^4+6x²+25的一个因式是p(x)=x²+bx+c,设f(x)的另外一个因式是x²+ax+d,同理设g(x)的另一个因式是3x²+ex+f
即:(x2+bx+c)(x²+ax+d)=x4+6x2+25 (1)
(x2+bx+c)(3x²+ex+f)=3x4+4x2+28x+5 (2)
对(1)进行化简:
(x²+bx+c)(x²+ax+d)=x^4+6x²+25
x^4+ax^3+dx²+bx^3+abx²+bdx+cx²+acx+cd=x^4+6x²+25
x^4+(a+b)x^3+(d+ab+c)x²+(bd+ac)x+cd=x^4+6x²+25
所以:
a+b=0 (3)
d+ab+c=6 (4)
bd+ac=0 (5)
cd=25 (6)
由(3)得a=-b代入(5)得:
bd-bc=0
d=c
代入(6)得d=c=±5
又由(5)得d+c=a²+6>0
所以c=d=5
a=2,b=-2 (7)
或a=-2,b=2 (8)

(3x²+ex+f)(x²+bx+c)=3x^4+4x²+28x+5
3x^4+3bx^3+3cx²+ex^3+bex²+cex+fx²+bfx+cf=3x^4+4x²+28x+5
3x^4+(3b+e)x^3+(3c+be+f)x²+(ce+bf)x+cf=3x^4+4x²+28x+5
所以:
3b+e=0
3c+be+f=4
ce+bf=28
cf=5
因为由多项式f(x)=x4+6x2+25已经得出c=5,所以:
由cf=5得,f=1,将c=5,f=1代入ce+bf=28中得:5e+b=28
而由3b+e=0得:e=-3b,代入5e+b=28中得:b=-2

结合第一个多项式推出的(7)得:
b=-2,c=5
所以:多项式p(x)=x²+bx+c的表达式是:
p(x)=x²-2x+5
p(1)=1-2+5=4

热心网友 时间：2024-11-06 09:29

这个对因式分解要求很高，不过答案简单，x=（3±√5）/2 ，括号±后面是根号五。
，先把左边展开，然后等式两边同时除以x3，换元法，让t=x+（x的倒数），最终再分解因式，说起来很麻烦，自己想吧

热心网友 时间：2024-11-06 09:35

开括号，合并同类项，有
（X^3+ X^2+ 2X +2）* X^3 +X^2+2X+1 =30X^3
即：X^3+ X^2+ X +2=30
X^2+X+1 =0

解得x=根号29开立方