定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)?f(b),当x...

发布网友发布时间：2024-10-23 18:03

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（1）证明：因为对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）?f（b），
∴令a=1，b=0，则f（1）=f（1）?f（0），即2=2f（0），
∴f（0）=1．
（2）令a=x，b=-x，则有f（0）=f（x-x）=f（x）?f（-x）=1，
∴f（-x）=1f(x)，
∵f（1）=2，
∴f（-1）=1f(1)=12
从而可知f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1）所以原函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（3）先证明y=f（x）在R上是单调递增函数．
设x1、x2∈R且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]
=f（x1）-f（x2-x1）?f（x1）
=f（x1）[1-f（x2-x1）]，
∵f（0）=f（x-x）=f（x）?f（-x）=1
∴f（x）与f（-x）同号，又x＞0时f（x）＞1
∴f（x）与f（-x）同为正值，
∴f（x1）＞0，
又x2-x1＞0
∴f（x2-x）＞1即1-f（x2-x1）＜0
∴f（x1）[1-f（x2-x1）]＜0即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上为单调递增函数．
由已知f（1）=2，
∴f（x+1）＜4可变为f（x+1）＜f（1）?f（1），
即f（x+1）＜f（1+1），
∵f（x）在R上为单调递增函数，
∴x+1＜2，即x＜1．
∴所求不等式的解集为：{x|x＜1}．

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