设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2-x)

发布网友 发布时间：2024-10-23 18:05

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热心网友 时间：2024-10-24 00:13

解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(x)关于Y轴对称，f(-x)=f(x)；
又满足f(2+x) =f(2-x)，
∴f(x)关于直线x=2对称∴f(x)是周期函数，最小正周期T=2*|0-2|=4。
∵在区间[-2,0]上，f(x)=(√2/2)^x-1
∴在区间[0,2]上，f(x)=(√2/2)^(-x)-1
在区间[2,4]上，f(x)=(√2/2)^(x-4)-1
在区间[4,6]上，f(x)=(√2/2)^(-x+4)-1
∵方程f(x)= log(a,x+2) 在区间[-2,6]上恰有4个不同实根即
在上述四个区间上各有一个根
令f(6)=(√2/2)^(-6+4)-1>=log(a,6+2)==>log(a,8)<=1
∴a>=8
∴a的取值范围是a>=8

热心网友 时间：2024-10-24 00:14

因为是偶函数，所以f(2+x) = f(-2-x) = f(2-x),所以f（x）是周期为4的函数。
所以，在区间（-2，6）内恰好有4个不同的实数根等价于在（-2，2）内恰好有2个实数根，
又因为是偶函数，所以只需要满足在（-2，0）内恰好有唯一解。
即f(x) = loga(x+2)在（-2，0）内恰好有唯一解。由于f（x）在（-2，0）单调连续递减，
且有f(2) = 1,f(0) = 0,loga(x+2)在（-2，0）内也是单调连续函数，因此要满足有唯一解的条件，只需要
1）当 0<a<1时，loga(0+2) <0;a在该区间内不等式恒成立
2）当a>1时， loga(0+2) >0; a在该区间内不等式也恒成立
因此a的取值范围是a>0且a不等于1

附注：其实画图更加好说明，希望百度能提供草图的解说。