设二次函数f(x)=ax^2+bx+c,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1\...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:53

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热心网友 时间：2024-11-17 03:36

你好！
原题：设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1与x2满足0<x1<x2<1/a.
1)当x∈(0,x1)时,求证x<f(x)<x1
2)设f(x)的图像关于直线x=x0对称,求证x0<1/2*x1.
解：(1)
令F(x)=f(x)-x,则F(x)=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时,x1<x2,
∴(x-x1)(x-x2)>0,而a>0
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)
=x1-[x+F(x)]
=x1-x+a(x-x1)(x-x2)
=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<1/a,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,即f(x)<x1

(2)
依题意知x0=-b/2a
x1、x2是F(x)-x=0,即ax^2+(b-1)x+c=0的根
∴x1+x2=(1-b)/a
x0=-b/2a=[a(x1+x2)-1]/2a=(ax1+ax2-1)/2a
∵ax2<1,∴x0=ax1/2a=x1/2.

热心网友 时间：2024-11-17 03:34

构造函数g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 0<x1<x2<1/a x∈(0,x1) a>0 (x-x1)(x-x2)>0 g(x)>0 要证明f(x)<x1 即证 f(x)-x+x-x1<0 即a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)<0 (x-x1)(ax-ax2+1)<0 因为0<x1<x2<1/a x∈(0,x1) 所以(x-x1)(ax-ax2+1)<0成立 x<f(x)<x1很不错哦，你可以试下
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