...a,b,c为三角形的三边长,满足a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13,求符合条件且...

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:00

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热心网友 时间：2024-11-05 02:45

设整数a，b，c为三角形的三边长，满足a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只市场计算1次）

由题设条件:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13
<==>
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=26 (1)

符合等式(1)只有(0,1,5;1+25=26)和(1,3,4;1+9+16=26)两种可能.
而(0,1,5)不合题意,舍去.

若a-b=1,b-c=3,a-c=4.由a+b+c<30,可得:
a=11,b=10,c=7;
a=10,b=9,c=6;
a=9,b=8,c=5;
a=8,b=7,c=4;
a7,b=6,c3;
a=6,b=5,c=2.
共有6种.

若a-b=3,b-c=1,a-c=4,由a+b+c<30,可得:
a=12,b=9,c=8;
a=11,b=8,c=7;
a=10,b=7,c=6;
a=9,b=6,c=5.
a=8,b=5,c=4.
共有5种.

合计6+5=11.

热心网友 时间：2024-11-05 02:39

找三个数的平方等于26即可。

热心网友 时间：2024-11-05 02:44

等式两边同时乘以2，得到(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=26
a+b+c<30，a,b,c为整数，且两边之和大于第三遍。
26=1+9+16=1^2+3^2+4^2，
(a-b)^2=1
(a-c)^2=9
(b-c)^2=16
假设c是最小边，那么a-c=3，b-c=4，所以a+b+c=3c+7<=30，所以c<=7
c=1时，b=5,a=4,a+c=b，不成为三角形
c=2时，b=6,a=5
c=3时，b=7,a=6
c=4时，b=8,a=7
……
c=7时，b=11,a=10
共6个
假设c是最大边，那么c-a=3,c-b=4，所以a+b+c=3c-7，所以c<=12
c=12,a=9,b=8
c=11,a=8,b=7
……
c=7,a=4,b=3，不成立
共5个

所以一共是6+5=11个