湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每题只有一项是符合要求的.） 1．（5分）命题“∀x∈R，x≥0”的否定为（）
222
A． ∃x∈R，x＜0 B． ∃x∈R，x≥0 C． ∀x∈R，x＜0
2．（5分）圆x+y+2y=1的半径为（） A． 1 B．
3．（5分）双曲线 A． 4
B． 3
2
2
2
D．∀x∈R，x≤0
2
C． 2 D．4
的实轴长为（）
C． 2
D．1
4．（5分）已知P为椭圆
上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=
（）
A． 2 B． 5 C． 7 D．8 5．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（） A． x=﹣28y
2
B． x=28y
2
2
2
C． y=﹣28x
2
D．y=28x
2
6．（5分）“m=n”是“方程mx+ny=1表示圆”的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 7．（5分）函数y=x﹣sinx，x∈的最大值是 （） A． 1 B． 2π C． π D．4 8．（5分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k （k＞0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048）），则存款利率为多少时，银行可获得最大利益（） A． 0.012 B． 0.024 C． 0.032 D．0.036 9．（5分）如图所示为y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（） ①f（x）在（﹣∞，1）上是增函数； ②x=﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f（x）的极小值点．
A． ①②③
10．（5分）已知椭圆
B． ①③④
C． ③④ D．②③
，O为坐标原点．若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x
轴上一点，∠OMN=90°，则点N横坐标的最小值为（）
A． B． C． 2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11．（5分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：．
12．（5分）抛物线x+12y=0的焦点到其准线的距离是．
13．（5分）双曲线
﹣
=1渐近线方程为．
2
D．3
14．（5分）若函数f（x）=x+x+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是． 15．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（12分）命题p：关于x的不等式x+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数
x
f（x）=（3﹣2a）是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
17．（12分）双曲线C与椭圆双曲线C的方程．
18．（12分）已知函数f（x）=
﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值
．
+
=1有相同的焦点，直线y=
x为C的一条渐近线．求
2
32
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．
19．（13分）已知直线l1为曲线y=x+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．
（Ⅰ）求直线l2的方程；
（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
20．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，x+lnx＜x是否恒成立，并说明理由．
21．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x的焦点，离心率为
．
2
2
32
2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ2
，求λ1+λ2的值．
=λ1
，
湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每题只有一项是符合要求的.） 1．（5分）命题“∀x∈R，x≥0”的否定为（）
222
A． ∃x∈R，x＜0 B． ∃x∈R，x≥0 C． ∀x∈R，x＜0
考点： 命题的否定． 专题： 概率与统计．
分析： 全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解答： 解：全称命题的否定是特称命题，
2
D．∀x∈R，x≤0
2
所以命题“∀x∈R，x≥0”的否定为：∃x∈R，x＜0． 故选：A．
点评： 本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（5分）圆x+y+2y=1的半径为（） A． 1 B．
2
2
22
C． 2 D．4
考点： 圆的标准方程． 专题： 计算题；直线与圆．
分析： 把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
2222
解答： 解：圆x+y+2y=1化为标准方程为 x+（y+1）=2， 故半径等于， 故选B．
点评： 本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
3．（5分）双曲线的实轴长为（）
D．1
A． 4 B． 3 C． 2
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据双曲线的标准方程，求出a的值，即可求出双曲线的实轴长．
解答： 解：双曲线∴a=1， ∴2a=2， 即双曲线
中，a=1，
2
的实轴长2．
故选C．
点评： 本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确理解双曲线的标准方程，属于基础题．
4．（5分）已知P为椭圆
上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=
（） A． 2 B． 5 C． 7
考点： 椭圆的标准方程．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF2|．
D．8
解答： 解：∵椭圆的方程为∴a=5，
，
∴|PF1|+|PF2|=2a=10， ∵|PF1|=3， ∴|PF2|=7． 故选C．
点评： 本题着重考查了椭圆的标准方程与定义等知识，属于基础题． 5．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（） A． x=﹣28y B． x=28y C． y=﹣28x
考点： 椭圆的标准方程． 专题： 计算题．
分析： 根据准线方程求得p，则抛物线方程可得． 解答： 解：∵准线方程为x=﹣7
222
D．y=28x
2
∴﹣=﹣7 p=14
∴抛物线方程为y=28x 故选D．
点评： 本题主要考查了抛物线的标准方程．属基础题．
6．（5分）“m=n”是“方程mx+ny=1表示圆”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据圆的方程，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
22
解答： 解：若m=n=0时，方程mx+ny=1等价为0=1，无意义，不能表示圆，
22
若方程mx+ny=1表示圆，则m=n＞0，
22
∴“m=n”是“方程mx+ny=1表示圆”的必要不充分条件， 故选：B．
点评： 本题主要考查 充分条件和必要条件的判断，利用圆的标准方程是解决本题的关键，比较基础． 7．（5分）函数y=x﹣sinx，x∈的最大值是 （） A． 1 B． 2π C． π D．4
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题．
分析： 函数y=x在给定区间上是增函数，而y=sinx在给定区间上减函数，在同一个区间上增函数减去一个减函数则整个这个函数在给定区间上是增函数，这样最大值就在端点处取到． 解答： 解：∵y=x在上单调递增， y=﹣sinx在上单调递增
∴y=x﹣sinx在上单调递增，
2
22
即最大值为f（π）=π， 故答案为π． 故选C．
点评： 本题考查了利用函数的单调性求函数的最值问题，属于基础题． 8．（5分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k （k＞0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048）），则存款利率为多少时，银行可获得最大利益（） A． 0.012 B． 0.024 C． 0.032 D．0.036
考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题；导数的综合应用．
分析： 建立起关于收益的函数，利用函数取最大值时，求得相应的x的值，即为使银行获得最大收益的存款利率．
22
解答： 解：用y表示收益，由设存款量是kx，利率为x，贷款收益为0.048kx
23
则收益y=0.048kx﹣kx，x∈（0，0.048），
2
∵y′=0.096x﹣3kx=3kx（0.032﹣x） ∴当y′＞0，0＜x＜0.032 当y′＜0，0.032＜x＜0.048
故收益y在x=0.032时取得最大值
则为使银行收益最大，应把存款利率定为0.032． 故选C．
点评： 本题主要考查函数在实际生活中的应用、导数求最值的方法等，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型． 9．（5分）如图所示为y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（） ①f（x）在（﹣∞，1）上是增函数； ②x=﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f（x）的极小值点．
A． ①②③ C． ③④ D．②③
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用．
分析： 通过图象，结合导函数的符号，逐一排除，从而选出正确选项．
解答： 解：x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）是增函数，故①错误，②正确，
B． ①③④
﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，2＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故③正确，
x=2是极大值点，故④错误， 故选：D．
点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，读图的能力，是一道基础题．
10．（5分）已知椭圆
，O为坐标原点．若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x
轴上一点，∠OMN=90°，则点N横坐标的最小值为（） A． B． C． 2
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
D．3
分析： 由已知条件，结合椭圆性质，推导出MN的直线方程为y﹣b=（﹣）（x﹣a），解得点N的横坐标x=a+解答： 解：椭圆
，由此利用均值定理能求出点N的横坐标最小值．
，
∵点M（a，b）为椭圆上y轴右侧的点，∴a＞0， OM的斜率k=
当点M在顶点（2，0）上时，x轴上不存在点N使得∠OMN=90° ∴k=不为0，
∴MN的斜率k=﹣=﹣，
∴MN的直线方程为y﹣b=（﹣）（x﹣a）， 令y=0：﹣b=（﹣）（x﹣a） 解得点N的横坐标x=a+∵
+b=1，b=1﹣
2
2
，
，
∴x=a+当且仅当
=a+﹣=，即a=
+≥2=． ，
时取得最小值．
∴点N的横坐标最小值为故选：B．
点评： 本题考查点的横坐标的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，要注意均值定理的合理运用．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11．（5分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：若x≤y，则|x|≤|y|．
考点： 四种命题间的逆否关系． 专题： 简易逻辑．
分析： 命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出即可． 解答： 解：∵“x＞y”的否定是“x≤y”，“|x|＞|y|”的否定是“|x|≤|y|”； ∴命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是： “若x≤y，则|x|≤|y|”；
故答案为：“若x≤y，则|x|≤|y|”．
点评： 本题考查了命题与它的否命题之间的关系，是基础题．
12．（5分）抛物线x+12y=0的焦点到其准线的距离是6．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用抛物线的标准方程可得p=6，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．
2
解答： 解：抛物线x=﹣12y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=6， 故答案为6
点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键．
13．（5分）双曲线
考点： 专题： 分析： 解答： 即得
﹣
=1渐近线方程为y=±x．
2
双曲线的简单性质．
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程． 解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，
﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．
故答案为：y=±x．
点评： 本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．
14．（5分）若函数f（x）=x+x+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是m≥．
考点： 函数单调性的性质．
32
专题： 计算题．
分析： f（x）为三次多项式函数，解决单调性用导数，函数f（x）=x+x+mx+1是R上的单调递增函数即f′（x）＞0在R上恒成立．
2
解答： 解：f′（x）=3x+2x+m．∵f（x）在R上是单调递增函数， ∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x+2x+m≥0．由△=4﹣4×3m≤0，得m≥． 故答案为m≥
点评： 本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围．一般转化为导函数≥0或≤恒成立处理． 15．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质． 专题： 导数的概念及应用．
分析： 构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
解答： 解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增， 故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
点评： 恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
2
16．（12分）命题p：关于x的不等式x+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f
x
（x）=（3﹣2a）是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
考点： 命题的真假判断与应用；复合命题的真假；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由p∨q为真，p∧q为假，知p为真，q为假，或p为假，q为真．由此利用二元一次不等式和指数函数的性质，能求出实数a的取值范围．
解答： 解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真． ①当p为真，q为假时，
32
2
，解得1＜a＜．
②当p为假，q为真时，
，解得a≤﹣2
综上，实数a的取值范围是{a|a≤﹣2或1＜a＜}．
点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
17．（12分）双曲线C与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线y=
x为C的一条渐近线．求
双曲线C的方程．
考点： 双曲线的标准方程． 专题： 计算题；反证法．
222
分析： 求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c=a+b；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程．
解答： 解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）（1分）
由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），（3分）
∴对于双曲线C：c=2．（4分）
又y=x为双曲线C的一条渐近线， ∴=
（6分）
，（9分）
．（10分）
2
2
2
解得a=1，b=
∴双曲线C的方程为
点评： 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a=b+c；
222
双曲线中系数的关系是：c=a+b．
18．（12分）已知函数f（x）=
﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值
．
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
2
分析： （1）由f′（x）=x﹣4=（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2，列表讨论，能求出m=4．
（2）由m=4，得f（x）=小值．
解答： 解：（1）∵f（x）=
2
，由此能求出函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极
﹣4x+m，
∴f′（x）=x﹣4=（x+2）（x﹣2）， 令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2， 列表讨论，得： x （﹣∞，﹣2） f′（x） + 0 f（x） ↑ 极大值 ∴当x=﹣2时，f（x）取极大值， ∵函数f（x）=∴
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=
，
﹣2 ﹣ ↓ （﹣2，2） 2 （2，+∞） 0 + 极小值 ↑
，
﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值
，
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=﹣．
点评： 本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，
解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
19．（13分）已知直线l1为曲线y=x+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．
（Ⅰ）求直线l2的方程；
（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程． 专题： 计算题．
分析： （I）欲求直线l2的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合l1⊥l2即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先通过解方程组得直线l1和l2的交点的坐标和l1、l2与x轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可． 解答： 解：（I）y′=2x+1． 直线l1的方程为y=3x﹣3．
222
设直线l2过曲线y=x+x﹣2上的点B（b，b+b﹣2），则l2的方程为y﹣（b+b﹣2）=（2b+1）（x﹣b）
2
因为l1⊥l2，则有k2=2b+1=所以直线l2的方程为
．
．
（II）解方程组得
所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、所以所求三角形的面积
．
．
．
点评： 本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
20．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，x+lnx＜x是否恒成立，并说明理由．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 专题： 导数的综合应用．
2
23
分析： （1）得f′（x）=x﹣（x＞0），讨论a的符号，判断单调性．
（2）构造函数g（x）=x﹣x﹣lnx（x＞1），利用导数求解最小值，转化为判断最小值的符号问题． 解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， 由题意得f′（x）=x﹣＞0（x＞0），
∴当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． 当a＞0时，f′（x）=x﹣=
=
，
3
2
∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，（2）设g（x）=x﹣x﹣lnx（x＞1） 则g′（x）=2x﹣x﹣．
2
3
2
）．
∵当x＞1时，g′（x）=
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数．
＞0，
∴g（x）＞g（1）=＞0．即x﹣x﹣lnx＞0， ∴x+lnx＜x，
故当x＞1时，x+lnx＜x是恒成
点评： 本题综合考察了导数的运用，证明不等式恒成立问题，属于难题．
21．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x的焦点，离心率为
．
2
2
3
2
3
32
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ2
，求λ1+λ2的值．
=λ1
，
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）设椭圆C的方程为由此能求出椭圆C的标准方程．
，由已知条件推导出b=1，，
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程得（1+5k）x﹣20kx+20k﹣5=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ1+λ2的值． 解答： （Ⅰ）解：设椭圆C的方程为
2
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，
（a＞b＞0），
抛物线方程化为x=4y，其焦点为（0，1），…（2分） 则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1， 由e=
，解得a=5，
2
∴椭圆C的标准方程为（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为
．…（5分）
，
∴椭圆C的右焦点F（2，0），…（6分） 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程
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，
并整理，得（1+5k）x﹣20kx+20k﹣5=0，…（7分）
∴，，…（8分）
又，，
，，
而，，
即（x1﹣0，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）=λ2（2﹣x2，﹣y2）， ∴
，
，…（10分）
∴λ1+λ2=
==﹣10．…（12分）
点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查两数和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．
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