2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版)

满分100分，考试卷时间80分钟

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。） 1.已知集合A{1,3,5}，B{3,5,7}，则AB（ ）

A.{1,3,5} B.{1,7} C.{3,5} D.{5} 解析：答案为C，由题意可得AB{3,5}. 2.函数f(x)log5(x1)的定义域是（ ） A.(,1)(1,) B.[0,1) C.[1,) D.(1,)

解析：答案为D，若使函数有意义，则x10，解得x1，故函数的定义域为(1,). 3.圆x(y2)9的半径是（ ）

A.3 B.2 C.9 D.6

，解析：答案为A， ∵r29，故r3. 4.一元二次不等式x27x0的解集是（ ）

A.{x|0x7} B.{x|x0或x7} C.{x|7x0} D.{x|x7或x0} ，解析：答案为A，解不等式可得{x|0x7}.

22x2y21的渐近线方程是（ ） 5.双曲线

94A.y3294x B.yx C.yx D.yx 2349x2y21，a3，b2，焦点在x轴上，∴渐近线解析：答案为B，∵双曲线方程为

94方程为yb2x，即yx. a36.已知空间向量a(1,0,3)，b(3,2,x)，若ab，则实数x的值是（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 解析：答案为C，∵ab，∴130(2)3x0，解得x1. 7.cos15cos75（ ） A.3311 B. C. D. 242411sin150. 24解析：答案为D ，cos15cos75sin75cos751

x108.若实数x，y满足不等式组y0，则x2y的最大值是（ ）

xy3A.9 B.1 C.3 D.7 解析：答案为C，画出可行域如图所示，

约束条件对应的平面区域是以点(1,0)，(3,0)和(1,4)所组成的三角形区域（含边界），易知当zx2y过(3,0)点时取得最大值，最大值

为3.

9.若直线l不平行于平面，且l，则下列结论成立的是（ ） A.内的所有直线与l异面 B.内不存在与l平行的直线 C.内存在唯一的直线与l平行 D.内的直线与l都相交

解析：答案为B ，由已知得，l与相交，设lO，则内过点O的直线与l相交，故A不正确；不过O的直线与l异面，故D不正确；内不存在与l平行的直线，所以B正确，C不正确.

x210.函数f(x)x的图象大致是（ ）

22x

A. B. C. D.

(x)2f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除B，D. 解析：答案为A ，∵f(x)xx22又∵无论x取何值，f(x)始终大于等于0，∴排除C，故选A.

11.若两条直线l1:x2y60与l2:xay70平行，则l1与l2间的距离是（ ） A.5 B.25 C.55 D. 25解析：答案为D ，∵l1//l2，∴1a120，解得a2，∴l2:x2y70， ∴l1，l2之间的距离为|67|12225. 512.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A. B.2 C.3 D.4

2

解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一. 其表面积为：Sr2224r212. 413.已知a，b是实数，则“a|b|”是“2a2b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：答案为A ，充分性：∵a|b|，∴ab，又y2是单调递增函数，∴2a2b，故充分性成立；必要性：∵2a2b，y2是单调增函数，∴ab，取a2，b3，满足ab，但a|b|，故必要性不成立；∴“a|b|”是“22”的充分不必要条件. 14.已知数列{an}，是正项等比数列，且

abxx236，则a5的值不可能是（ ） a3a7A.2 B.4 C.

88 D. 53解析：答案为C ，由题意可知，

2323262662(an0)， a3a7a3a7a5a3a7即a52，∴a5不可能是

8. 515.如图，四棱锥ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是（ ）

A.

23 B. C.2 D.3 221AC， 12解析: 答案为C ，连接A1C，交BD1于点O，由对称性可知，OC∵ABCD是正方形，∴BCCD.

又∵平面A1B1CD平面ABCD，平面A1B1CD平面ABCDCD，

∴BC平面A1B1CD，∴BOC即为直线BD1与平面A1B1CD所成夹角， 不妨设ADa，则 tanBOCBCOCa2

.2a216.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（ ）

3

A.

2323 B. C. D. 2233解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，

b2AFb则点坐标为：A(c,)，利用相似可知，即bc，

aOFaa2c ∴e2. 217.数列{an}，{bn}用图象表示如下，记数列{anbn}的前n项和为Sn，则（ ）

A.S1S4，S10S11 B.S4S5，S10S13 C.S1S4，S10S11 D.S4S5，S10S13

解析：答案为B ，由图易知，当n4时，an0；当n5时，an0；当n10时，bn0；

当n11时，bn0.令cnanbn，可得当n4时，cn0；当5n10时，cn0， 当n11时，cn0，故Sn在1n4时单调递增，4n10时单调递减，在n10时单调递增.

18.如图，线段AB是圆的直径，圆内一条动弦CD与AB交于点M，且MB2AM2，现将半圆ACB沿直径AB翻折，则三棱锥CABD体积的最大值是（ ）

21 B. C.3 D.1 33解析：答案为D ，设翻折后CM与平面ABD所成的角为，则三棱锥CABD的高为CMsin，所以

111VCABD(ABDMsinDMA)CMsinABDMCM，又

326AB3，DMCMAMBM2，所以体积的最大值为1.

A.

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

19.已知等差数列{an}中，a11，a35，则公差d ▲ ，a5 ▲ .

4

答案：2，9；

解析：∵a11，a35，∴12d5，解得d2；又a5a32d，∴a59. 20.若平面向量a，b满足|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，则a(ab) ▲ . 答案：24

解析：a(ab)aab|a||a||b|cos60664222124. 221.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD区域改造成公园，经过测量得到AB1km，BC2km，CD3km，AD4km，且ABC120，则这个区域的面积是 ▲ km.

2答案：

3372

解析：∵AC2AB2BC22ABBCcosABC7， ∴AC2CD2AD2，∴ACD90，∴SACD137，ACCD22SABC13337，∴区域面积为：SABCSACD. BCABsinABC2222222.已知函数f(x)xxa2x1a.当x[1,)时，f(x)0恒成立，则实数a的

取值范围是 ▲ . 答案：[2,1]

t21t212t21设t2x1[1,)，则x，则f(x)0等价于()ata20，

222即t4t34at4a0(t1).一方面，由于当t1时，不等式84a4a20成立，从而 2a1.另一方面，设f(t)t4t34at4a(t1)，

3则 f(t)4t8t4a484a40，因此f(t)在[1,)上单调递增，

2422422因此f(t)f(1)84a4a0，从而2a1. 综上所述，所求的实数a的取值范围为[2,1].

5

三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数f(x)sin(x（Ⅰ）求f(0)的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅲ）求函数f(x)的最大值. 解析：（Ⅰ）f(0)sin)sin(x)cosx，xR. 66sin()cos01. 66（Ⅱ）因为f(x)2sinxcoscosx2sin(x)，

66所以，函数f(x)的最小正周期为2.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当x2k3(kZ)时，函数f(x)的最大值是2.

2224. 如图，已知抛物线C1:x4y和抛物线C2:xy的焦点分别为F和F，N是抛

物线C1上一点，过N且与C1相切的直线l交C2于A，B两点，M是线段AB的中点. （Ⅰ）求|FF|；

（Ⅱ）若点F在以线段MN为直线的圆上，求直线l的方程. 解析：（Ⅰ）由题意得，F(1,0)，F(0,)，所以|FF|（Ⅱ）设直线l的方程为：ykxm，联立方程组

145. 4x24y2，消去y，得x4kx4m0，因为直线l与C1相切，所以ykxm16k216m0，

2得mk，且N的坐标为(2k,k).

2xy22xkxk0， 联立方程组，消去，得y2ykxk2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，则x1x2k，xx2k，

2所以x0x1x2k3，y0kx0mk2. 22242因为点F在以线段MN为直径的圆上，所以FMFN0，即3kk20，

6

解得k2622x. ，经检验满足题意，故直线l的方程是y333225.设aR，已知函数f(x)|x11||x2|ax. xx（Ⅰ）当a0时，判断函数f(x)的奇偶性； （Ⅱ）若f(x)4x6恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）设bR，若关于x的方程f(x)b8有实数解，求ab的最小值. 解析：（Ⅰ）当a0时，f(x)|x22211||x2|. xxf(x)的定义域是(,0)(0,)，且f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数.

2x2ax,x12ax,0x1x（Ⅱ）由已知得f(x)，

2ax,1x0x22xax,x164)max，所以a443； x262当0x1时，ax4x6恒成立，即a42恒成立，

xxx62因为424，所以a4；

xx262当1x0时，ax4x6恒成立，即a42，

xxx62因为4212，所以a12；

xx62当x1时，2xax4x6恒成立，即a(2x4)min，所以a443；

x当x1时，2xax4x6恒成立，即a(2x2综上所述，a的取值范围是443a443. （Ⅲ）设x0是方程f(x)b8的解，则f(x0)b8.

22当|x0|1时，2x0ax0b8，即ax0b2x080， 2所以(a,b)是直线x0xy2x080上的点，

则ab222|2x08|2x0122(x01)62x0122时，等号成立. 21243，当且仅当x07

当0|x0|1时，

22ax0b8，即ax0b80， |x0||x0|280上的点， x0所以(a,b)是直线x0xy|则a2b228||x0|2x0128|x0|21052， 2因为5243，所以a2b243，

当且仅当|a|42，b4时，ab的最小值是48.

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2019年1月浙江省学考数学参考答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A A B CD 题号 10 11 12 13 14 15 答案 A D B A C C

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．2，9 20. 24 21.

7 D 16 A 8 C 17 B 9 B 18 D 337 22. 2,1 2三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解： （Ⅰ）f(0)sinsin()cos01. 66（Ⅱ）因为f(x)2sinxcoscosx2sin(x)，

66所以，函数f(x)的最小正周期为2.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当x2k3(kZ)时，函数f(x)的最大值是2. 145. 424. 解：（Ⅰ）由题意得，F(1,0)，F(0,)，所以|FF|x24y（Ⅱ）设直线l的方程为：ykxm，联立方程组，消去y，

ykxm得x4kx4m0，因为直线l与C1相切，所以16k16m0，

2得mk，且N的坐标为(2k,k).

2xy22xkxk0， 联立方程组，消去，得y2ykxk2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，则x1x2k，xx2k，所以

222x0x1x2k3，y0kx0mk2. 22242因为点F在以线段MN为直径的圆上，所以FMFN0，即3kk20， 解得k2622x. ，经检验满足题意，故直线l的方程是y333

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25.解： （Ⅰ）当a0时，f(x)|x211||x2|. xxf(x)的定义域是(,0)(0,)，且f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数.

2x2ax,x12ax,0x1x（Ⅱ）由已知得f(x)，

2ax,1x0x22xax,x164)max，所以a443； x262当0x1时，ax4x6恒成立，即a42恒成立，

xxx62因为424，所以a4；

xx26262当1x0时，ax4x6恒成立，即a42，因为4212，

xxxxx所以a12；

62当x1时，2xax4x6恒成立，即a(2x4)min，所以a443；

x当x1时，2xax4x6恒成立，即a(2x2综上所述，a的取值范围是443a443. （Ⅲ）设x0是方程f(x)b8的解，则f(x0)b8.

22当|x0|1时，2x0ax0b8，即ax0b2x080， 2所以(a,b)是直线x0xy2x080上的点，

则ab222|2x08|2x0122(x01)62x0122时，等号成立. 21243，当且仅当x0当0|x0|1时，

22ax0b8，即ax0b80， |x0||x0|280上的点， x0所以(a,b)是直线x0xy|则a2b228||x0|2x0128|x0|21052， 222因为5243，所以ab43，

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当且仅当|a|42，b4时，ab的最小值是48.

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