圆锥曲线的焦点弦问题是高老命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴 题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有老察。由于题目 的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长 公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用 这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手! ?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴), 焦点为F,设倾斜角为G的直线/经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离 心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在X轴上时,弦AB的长IABI= — ;
11 - COS^ a I
(2)
当焦点在丫轴上叭弦AB的长而
推论:
(I)B点在X轴上,当ASB在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,IABI= —上一十 l-f COSJ a 当AX B不在双曲线的一支上时,IABI=
\" COSiZ-I
fc
— ;当圆锥曲线是抛物线时,
IABI=一 .
SiIr a
⑵焦点在y轴上,当入B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时9∖AB∖= 一竺十 1一0°
sin\" a
当A、B不在双曲线的一支上时,IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时, L SHr α-l
H
IABl=
cos* a
•专业
典题妙解
F面以部分高老题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1 (06文第21题)已知椭圆+ * = 抛物线。-加)2=2Z (P >0), 旦G、G的公共弦AB过椭
圆Cl的右焦点.
(I) 当AB丄X轴时,求p, m的值,并判断抛物线C?的焦点是否在亶线AB上;
4
(II) 若P =-且抛物线G的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程・•专业
L V*
例2 (07全国I文第22题)已知椭圆y + -= 1的左.右焦点分别为耳,过件的 直线交椭圆于B. D两点,过耳的直线交椭圆于A・C两点,旦AC丄BDf垂足为P・
■ ■
⑴ 设P点的坐标为(心,儿),证明:牛+ *^v1.
⑵求四边形ABCD的面积的最小值.
•专业
例3 (08全国I理第21题文第22题)双曲线的中心为原点6 焦点在X上,两条渐近线
厶于入B两点.已知IMI、
分别为厶、I2,经过右焦点F垂直于片的直线分别交厶、
IABk IoRl成等荃数列,且丽与臥同向. (I )求双曲线的离心率;
(II)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
•专业
金指点睛
2
1.已知斜率为1的直线/过椭圆⅛ + A∙
4 IABl= ___________ .
2
= 1的上焦点F交椭圆于A. B两点,则
2
2・过双曲线X--—= 1的左焦点F作倾斜角为7的吉线/交双曲线于AX B两点,则
3 IABl= __________ .
3.已知椭圆x1+2y2-2 = 0,过左焦点F作宜线/交A、B两点,的最大面积.
•专业
0 为坐标原点,求AAOB
O过焦点F,设IABl=加,AAOB的面积为S,
•专业
4.已知抛物线Γ=4∕ΛV (/; >0),弦AB求证:存为定值•
5. (05全国Il文第22题)F、Q、MX N四点都在椭圆,+冷=1上,F为椭圓在y轴正
半轴上的焦点•已知丽与甩共线,丽与丽共线■且亦・MF = O四边形
PQMN的面积的最大值和最小值.
•专业
6. (07文第22题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2 = 8.v的焦点F,且与抛物线交于 A、B
两点.
(I )求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程;
(Il)若Q为锐角,作线段AB的垂直平分线m交.v轴于点P,证^lFPl-IFPICoS2σ 为定值,并
求此定值.
iVf
,
.专业
7•点M与点F(0,2)的距离比它到直线/: y + 3 = 0的距离小1. (1)求点M的轨迹方程;
⑵ 经过点F且互相垂直的两条亶线与轨迹相交于Aj B; CX D.求四边形ACBD的最 •专业
小面积・
8.已知双曲线的左右焦点FI、F2与椭圆y+y2 =1的焦点相同,且以抛物线V2= -2Λ∙的 准线为
其中一条准线.
(1) 求双曲线的方程;
(2) 若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B; C、D.求四边形ACBD 的
面积的最小值•
•专业
参考答案:
Y-
e
Oik- C
证明:设双曲线方程为庐\"。,b >0),通径亍,离心率“7
弦AB所在的直线/的方程为y = R (Λ÷C)(其中k = tanα, &为直线/的倾斜角),其参 数方程为
X = -c + tcosa, y
= ZSin α.
(f为参数)•
代入双曲线方程并整理得:(πsinα-⅛cosα)√ + 2bccosa∙t-b =0.
由t的几何意义可得:
2 32222
24IABl=I tl -t2 I
=\\/(人 +『2)~ _4/E
2
•••点A在抛物线G上,
2
9 9 .∙. — = 2〃•即 P =—・
12_
3(1 一cos2 α) 4-cos2 a 解之得:cos2 a = -, tan α = ±品・
7
2
•专业
Q
•・•抛物线G的对称轴y = m平行于X轴,焦点在AB ±,通径/∕ = 2P = -I离心率f = l, 于是有
LJ
IABl=一- - 9
SiIr a 3(1-cos* a)
・
又TAB过椭圆G的右焦点,通径H=——=3, a
2b5 6
.∙. I AB I= --- _ = ―
11 一旷 COS- a I 4-cos' a
•・•抛物线C?的焦点F(-,∕n)在直线y = tanα∙(x-l)±1
5
・・.点P在圆/+b =Ijte
7 . X\" V\"
显然,圆χ~ + * = 1在椭圆—+ -^- = 1的部.
故 ⅛÷⅛<∙
1
6 2
⑵解:如图,设直线BD的倾斜角为.由AC丄购可知,直线AC的倾斜角f + °.
•专业
通径H=手=芈,离心\"£・
又V BDS AC分别过椭圆的左、右焦点人、F-于是
IBDl= H
4√j 1 一 / cos2
a 3-cos2
a
IACl=
4、行
MC。逬+ α)
3 — Sin2
a
••・四边形ABCD的面积
S =丄 IBDI ・l ACI
2 1
4√3
4√3
=—• ---------- • --------- 2 3-COSP 3-sin\" a
96 β.∙ a ∈ [θ, π∖ :. Sin2
Ia ∈ [04].
故四边形ABCD面积的最小值为Il. 例3,解:⑴设双曲线的方程为才Fl心,T
V IOAK IABL 顾1成等差数列,设I AB∖=m ,公差为d,贝∖∖∖OA∖=m-d I I OB∖=m + d 29 /. (m -J) + nr = (m + CIy ・即 m2 - 2dm + d2 + Ur = m2 + 2dnι + d2.
d = —.从而 I OAI=-, I-
OBI=-.
4 4 4
又设直线厶的倾斜角为」则ZAOB=Ia.厶的方程为y = -x・
a
b
IABl-4 .∖
tcl∏ Ct =—・
而 tan 2a = tan ZAOB
IQ4I 一亍
•专业
9
1 - tan2 tana _ X £2
万
_4 a I l 3 1一(—)
解之得:—=Z
-∙
2
(ID设过焦点F的直线AB的倾斜角为0,则θ = ^ + a.
5
tan2
a ΦL-. T
.∖ cos。=-Sina ・而 siιr σ =
1 +tan2 a
.∙. COS2 =
∕> t 2
I
a 通径 H = - = 2b×- = b. a
H
又设直线AB与双曲线的交点为W N.于是有:杯JLe。朋
=4.
h
=4.
解得b = 3,从而o = 6∙
2x
2v
∙∙∙所求的椭圆方程为—=ι.
E m,离心率“汁¥,通径H=手\",直线/的倾斜角
.∙. I AB I=——= ----------- =-
l-f Snr a √3 ?
√2 ? 5
1一(一)・(1)
2 2
2.解:rt = l,∕7 = √3,c = 2 ,离心率e = £ = 2 ,通径/7=- = 6 6 ,直线的倾斜角a=- a •专业
a
/. I AB I= ----- f ——= --------- F=——=3 ・
11 一旷 cos\" a I √3 7 ?
22ll-2∙(-) I
2
3
∙解:T
+/=1
* ZiF左焦点F(-1,0),离心率e年=半,通径
/∕=^I = √2.
当直线/的斜率不存在时,/丄X轴,这时IABl= /7 = — = √2 ,高IOFI=C = I, a
1 近
ΔAOB 的面积 S = — × y∣2 X1 =-—・
2 2
当直线/的斜率存在时,设直线/的倾斜角为Q ,则其方程为y = tanα∙(x + l),即
tanα ・ x- y + tanQ = O
f
z⅜¾∖
到直线 AB
的距离
IoXtana — 0 + tan α I I tan a I .
a = ------ 1 = --- = ------ = SIn a .
√tan2α + l ISeCal
2d l-(⅛.cos2σ
2
2-cos a
2
.∙. ΔAOB的面积S =-× I ABI ×d = 咋⑷乞 2 l + shvα
-Q< a < π f
:.Sina >0.从而 1 +sin' a ≥ 2sinα . ^√2sin= √2
2sinα 2
∕τ
当曰仅当Sina = IF即α = =T时,“二”号成立.故AAOB的最大面积为宁 乙 Zr
π
4.解:焦点为F(IKO),通径H=4p.
当直线AB的斜率不存在时,AB丄X轴,这时IABl= nι = 4p9高IOFI=\
•专业
的面积 S = IXlABIXlOF I= 2p.
22
S? _4/「_4/「
In IrI 4/?
Λ∖是定值.
当直线AB的斜率存在时,设直线的倾斜角为α,则其方程为y = tanα∙(x-p),即
tan α ・ x- y + p tan a = 0
原点 O 到直线 AB 的距离
I P tan a I P ItImal .
■ I — = --------- = PSln a.
√tan2α + l ISeCal IABI==
Sin- a Siir a
.∙. ΔAOB 的面积S=丄×lABl×d =
2
Sina
m SiIr a In Sin - a 4∕?
C2
・・•不论直线AB在什么位萱,均有——=p' (/,为定值)・Ill
5.解:在椭圆Λ∙
2
+ = 1 中,U = ^J2, b = l, c = l.
由已知条件,MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F (OJ) f 如图,设直线PQ的倾斜角为Q ,则直线MN的倾斜角彳 + Q.
通径H=千W,离心率于是有
I Ar I - 2y[2 I MNI= --------------- = ------- -
I-^Sin2(^ + IPQA H 一 2\" 1一厂 Siir a 2-siιr a •专业 S =丄 IMNl ∙IPQI 2 1 2√2 2√2 = - - --------- -------- 2 2-cos2 a 2-sin2 a 16 8 + Sin2 Ia ∙.∙ a ∈ [θ, 7t∖ :. sin 2a ∈ [04]. 2 少,2 .∙. S ∈ 故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为亍和2. 6. (I)解:2p = &〃 = 4,抛物线的焦点F的坐标为(0,2), 准线/的方程为x = -2∙ (II )证明:作4C丄/于C, FQ丄AC于D.通径H =Ip = & A IFPI-I FPICoS2α =I FPI(I -cos2α)= 故IFPl-IFPICoS2α为定值,此定值为8. —・ 2sin2 α = 8 • Sin^ a 7.解:(1)根据题意,点M与点F(0,2)的距离与它到直线Ily =-2的距离相等, 点M的轨迹是抛物线,点\"(0,2)是它的焦点,直线/:y = -2是它的准线. 从而才=2 , /7 = 4. 所求的点M的轨迹方程是/ = 8>∙. (2) T两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点, 它们的斜率都 Do 存在.如图,设直线AB的倾斜角为Q , 则直线CD的倾斜角为9 0 + σ. 、 \\ J Z •专业 /0 \\ 抛物线的通径H =2p = J于是有: I AB I= —^―=CD I= 一」 ------------------- cos\" a cos_a COS-(90。+α) 四边形ACBD的面积 S = IIABI-ICDI 2 1 8 8 =— - ----- ---- 2 cos* a SiIr a 128 s in6 2a 当旦仅当sm22α取得最大值1时,5min = 128 I这时2α = 90o^=45o. •••四边形ACBD的最小面积为128. 2 8•解:(1)在椭圆* + F = 1 中,a =怎b = ∖,c = ^a2-b2 =2,:.其焦点为 Fl(-2,0) S F2 (2,0). 在抛物线y =-2x中,P = l, Λ其准线方程为χ = y = ∣. 在双曲线中,c = 2,— = — I .∙. U = Xb = JC- =J. 2 C 2 2 :.所求的双曲线的方程为-r--y = l. 2 Ib- 双曲线的通径H = =6,离心率 a ・四边形ACBD的面•• 积 C 0 = —= 2・于是有: a 2 1 -4COS2 a 1 -4sin2 a 6 T两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点, 二它们的斜率都存在.如图,设直线AB的倾斜角为α ,则直线CD的倾斜角为90 + σ. o •专业 当旦仅当sin 2α取得最大值1时,∖ 2 lin =I81这时2α = 90^=45. oo ・・・四边形ACBD的最小面积为18. 2b* 1ccosa )2 -4庆 2222 a1 sin a-b1 cos a a1 sin a _b' cos a = __________ 2alr ____________ 22 I Cr sin a-h2 cos a I 2b1 = ------- ; -- ;—— a∖∖-e^' cos* a I 2b1 ll- / cos2 a I H 11 一 / cos2 a I 例】•解:(I)当AB丄X轴时,点A、B关于X轴对称,.∙.加=0,直线AB的方程为 X = L 3 3 从而点A的坐标为(IG)或(h--). Z 4 8 9 此时抛物线C?的焦点坐标为(―,0),该焦点不在直线AB上. 16 (II)设直线AB的倾斜角为G ,由(I )知α≠[・ 2 则直线AB的方程为y = tan α・(x -1)・ 1 I √6 /. m = --tanσ ,从而In = ± —— 3 3 当m = 时,直线AB的方程为J6x+y — √δ = 0; 当加=_羊时,直线AB的方程为J6x-y-J5 = O 7 IF1F2 I=C = L 得Λ02+y02 =1. 9 例2•⑴证明:在PFI中' ・・・ZF1PF2 = 90。,。是FI厲的中点, /.IOPl=- •专业 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容