圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线的焦点弦问题是高老命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴 题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有老察。由于题目 的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长 公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用 这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！ ?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴）, 焦点为F,设倾斜角为G的直线/经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离 心率为e,通径长为H,则

（1）当焦点在X轴上时，弦AB的长IABI= — ；

11 - COS^ a I

（2）

当焦点在丫轴上叭弦AB的长而

推论：

（I）B点在X轴上,当ASB在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,IABI= —上一十 l-f COSJ a 当AX B不在双曲线的一支上时，IABI=

fc

— ;当圆锥曲线是抛物线时,

IABI=一 .

SiIr a

⑵焦点在y轴上,当入B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时9∖AB∖= 一竺十 1一0°

sin\" a

当A、B不在双曲线的一支上时，IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时, L SHr α-l

H

IABl=

cos* a

•专业

典题妙解

F面以部分高老题为例说明上述结论在解题中的妙用.

例1 (06文第21题)已知椭圆+ * = 抛物线。-加)2=2Z (P >0), 旦G、G的公共弦AB过椭

圆Cl的右焦点.

(I) 当AB丄X轴时，求p, m的值，并判断抛物线C?的焦点是否在亶线AB上；

4

(II) 若P =-且抛物线G的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程・•专业

L V*

例2 （07全国I文第22题）已知椭圆y + -= 1的左.右焦点分别为耳，过件的 直线交椭圆于B. D两点，过耳的直线交椭圆于A・C两点，旦AC丄BDf垂足为P・

■ ■

⑴ 设P点的坐标为（心，儿），证明：牛+ *^v1.

⑵求四边形ABCD的面积的最小值.

•专业

例3 (08全国I理第21题文第22题)双曲线的中心为原点6 焦点在X上，两条渐近线

厶于入B两点.已知IMI、

分别为厶、I2,经过右焦点F垂直于片的直线分别交厶、

IABk IoRl成等荃数列，且丽与臥同向. (I )求双曲线的离心率；

(II)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

•专业

金指点睛

2

1.已知斜率为1的直线/过椭圆⅛ + A∙

4 IABl= ___________ .

2

= 1的上焦点F交椭圆于A. B两点，则

2

2・过双曲线X--—= 1的左焦点F作倾斜角为7的吉线/交双曲线于AX B两点，则

3 IABl= __________ .

3.已知椭圆x1+2y2-2 = 0,过左焦点F作宜线/交A、B两点，的最大面积.

•专业

0 为坐标原点，求AAOB

O过焦点F,设IABl=加，AAOB的面积为S,

•专业

4.已知抛物线Γ=4∕ΛV (/; >0),弦AB求证：存为定值•

5. （05全国Il文第22题）F、Q、MX N四点都在椭圆，+冷=1上，F为椭圓在y轴正

半轴上的焦点•已知丽与甩共线，丽与丽共线■且亦・MF = O四边形

PQMN的面积的最大值和最小值.

•专业

6. (07文第22题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2 = 8.v的焦点F,且与抛物线交于 A、B

两点.

(I )求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程；

(Il)若Q为锐角,作线段AB的垂直平分线m交.v轴于点P,证^lFPl-IFPICoS2σ 为定值，并

求此定值.

iVf

,

.专业

7•点M与点F(0,2)的距离比它到直线/: y + 3 = 0的距离小1. (1)求点M的轨迹方程；

⑵ 经过点F且互相垂直的两条亶线与轨迹相交于Aj B; CX D.求四边形ACBD的最 •专业

小面积・

8.已知双曲线的左右焦点FI、F2与椭圆y+y2 =1的焦点相同，且以抛物线V2= -2Λ∙的 准线为

其中一条准线.

(1) 求双曲线的方程；

(2) 若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B; C、D.求四边形ACBD 的

面积的最小值•

•专业

参考答案:

Y-

e

Oik- C

证明：设双曲线方程为庐\"。，b >0）,通径亍，离心率“7

弦AB所在的直线/的方程为y = R （Λ÷C）（其中k = tanα, &为直线/的倾斜角），其参 数方程为

X = -c + tcosa, y

= ZSin α.

（f为参数）•

代入双曲线方程并整理得:(πsinα-⅛cosα)√ + 2bccosa∙t-b =0.

由t的几何意义可得：

2 32222

24IABl=I tl -t2 I

=\\/(人 +『2)~ _4/E

2

•••点A在抛物线G上，

2

9 9 .∙. — = 2〃•即 P =—・

12_

3(1 一cos2 α) 4-cos2 a 解之得：cos2 a = -, tan α = ±品・

7

2

•专业

Q

•・•抛物线G的对称轴y = m平行于X轴，焦点在AB ±,通径/∕ = 2P = -I离心率f = l, 于是有

LJ

IABl=一- - 9

SiIr a 3(1-cos* a)

・

又TAB过椭圆G的右焦点，通径H=——=3, a

2b5 6

.∙. I AB I= --- _ = ―

11 一旷 COS- a I 4-cos' a

•・•抛物线C?的焦点F(-，∕n)在直线y = tanα∙(x-l)±1

5

・・.点P在圆/+b =Ijte

7 . X\" V\"

显然，圆χ~ + * = 1在椭圆—+ -^- = 1的部.

故 ⅛÷⅛<∙

1

6 2

⑵解:如图,设直线BD的倾斜角为.由AC丄购可知,直线AC的倾斜角f + °.

•专业

通径H=手=芈，离心\"£・

又V BDS AC分别过椭圆的左、右焦点人、F-于是

IBDl= H

4√j 1 一 / cos2

a 3-cos2

a

IACl=

4、行

MC。逬+ α)

3 — Sin2

a

••・四边形ABCD的面积

S =丄 IBDI ・l ACI

2 1

4√3

4√3

=—• ---------- • --------- 2 3-COSP 3-sin\" a

96 β.∙ a ∈ [θ, π∖ :. Sin2

Ia ∈ [04].

故四边形ABCD面积的最小值为Il. 例3,解：⑴设双曲线的方程为才Fl心，T

V IOAK IABL 顾1成等差数列，设I AB∖=m ,公差为d,贝∖∖∖OA∖=m-d I I OB∖=m + d 29 /. (m -J) + nr = (m + CIy ・即 m2 - 2dm + d2 + Ur = m2 + 2dnι + d2.

d = —.从而 I OAI=-, I-

OBI=-.

4 4 4

又设直线厶的倾斜角为」则ZAOB=Ia.厶的方程为y = -x・

a

b

IABl-4 .∖

tcl∏ Ct =—・

而 tan 2a = tan ZAOB

IQ4I 一亍

•专业

9

1 - tan2 tana _ X £2

万

_4 a I l 3 1一（—）

解之得：—=Z

-∙

2

(ID设过焦点F的直线AB的倾斜角为0,则θ = ^ + a.

5

tan2

a ΦL-. T

.∖ cos。=-Sina ・而 siιr σ =

1 +tan2 a

.∙. COS2 =

∕> t 2

I

a 通径 H = - = 2b×- = b. a

H

又设直线AB与双曲线的交点为W N.于是有：杯JLe。朋

=4.

h

=4.

解得b = 3,从而o = 6∙

2x

2v

∙∙∙所求的椭圆方程为—=ι.

E m,离心率“汁¥，通径H=手\"，直线/的倾斜角

.∙. I AB I=——= ----------- =-

l-f Snr a √3 ?

√2 ? 5

1一（一）・（1）

2 2

2.解：rt = l,∕7 = √3,c = 2 ,离心率e = £ = 2 ,通径/7=- = 6 6 ,直线的倾斜角a=- a •专业

a

/. I AB I= ----- f ——= --------- F=——=3 ・

11 一旷 cos\" a I √3 7 ?

22ll-2∙(-) I

2

3

∙解:T

+/=1

* ZiF左焦点F(-1,0),离心率e年=半,通径

/∕=^I = √2.

当直线/的斜率不存在时，/丄X轴，这时IABl= /7 = — = √2 ,高IOFI=C = I, a

1 近

ΔAOB 的面积 S = — × y∣2 X1 =-—・

2 2

当直线/的斜率存在时，设直线/的倾斜角为Q ,则其方程为y = tanα∙(x + l),即

tanα ・ x- y + tanQ = O

f

z⅜¾∖

到直线 AB

的距离

IoXtana — 0 + tan α I I tan a I .

a = ------ 1 = --- = ------ = SIn a .

√tan2α + l ISeCal

2d l-(⅛.cos2σ

2

2-cos a

2

.∙. ΔAOB的面积S =-× I ABI ×d = 咋⑷乞 2 l + shvα

-Q< a < π f

:.Sina >0.从而 1 +sin' a ≥ 2sinα . ^√2sin= √2

2sinα 2

∕τ

当曰仅当Sina = IF即α = =T时，“二”号成立.故AAOB的最大面积为宁 乙 Zr

π

4.解：焦点为F(IKO),通径H=4p.

当直线AB的斜率不存在时，AB丄X轴，这时IABl= nι = 4p9高IOFI=\

•专业

的面积 S = IXlABIXlOF I= 2p.

22

S? _4/「_4/「

In IrI 4/?

Λ∖是定值.

当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为α,则其方程为y = tanα∙(x-p),即

tan α ・ x- y + p tan a = 0

原点 O 到直线 AB 的距离

I P tan a I P ItImal .

■ I — = --------- = PSln a.

√tan2α + l ISeCal IABI==

Sin- a Siir a

.∙. ΔAOB 的面积S=丄×lABl×d =

2

Sina

m SiIr a In Sin - a 4∕?

C2

・・•不论直线AB在什么位萱，均有——=p' (/，为定值)・Ill

5.解：在椭圆Λ∙

2

+ = 1 中，U = ^J2, b = l, c = l.

由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F (OJ) f 如图，设直线PQ的倾斜角为Q ,则直线MN的倾斜角彳 + Q.

通径H=千W,离心率于是有

I Ar I - 2y[2 I MNI= --------------- = ------- -

I-^Sin2(^ + 2

IPQA H 一 2\"

1一厂 Siir a 2-siιr a

•专业

S =丄 IMNl ∙IPQI

2 1 2√2 2√2

= - - --------- -------- 2 2-cos2 a 2-sin2 a

16 8 + Sin2 Ia

∙.∙ a ∈ [θ, 7t∖ :. sin 2a ∈ [04].

2

少,2

.∙. S ∈

故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为亍和2.

6. (I)解：2p = &〃 = 4,抛物线的焦点F的坐标为(0,2),

准线/的方程为x = -2∙

(II )证明：作4C丄/于C, FQ丄AC于D.通径H =Ip = &

A IFPI-I FPICoS2α =I FPI(I -cos2α)=

故IFPl-IFPICoS2α为定值，此定值为8.

—・ 2sin2 α = 8 • Sin^ a

7.解：(1)根据题意，点M与点F(0,2)的距离与它到直线Ily =-2的距离相等,

点M的轨迹是抛物线，点\"(0,2)是它的焦点，直线/:y = -2是它的准线. 从而才=2 ,

/7 = 4.

所求的点M的轨迹方程是/ = 8>∙.

(2) T两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， 它们的斜率都

Do

存在.如图，设直线AB的倾斜角为Q , 则直线CD的倾斜角为9 0 + σ.

、 \\ J Z •专业

/0 \\ 抛物线的通径H =2p = J于是有：

I AB I= —^―=CD I= 一」 -------------------

cos\" a cos_a COS-（90。+α）

四边形ACBD的面积

S = IIABI-ICDI 2 1 8 8

=— - ----- ---- 2 cos* a SiIr a

128 s in6 2a 当旦仅当sm22α取得最大值1时，5min = 128 I这时2α = 90o^=45o.

•••四边形ACBD的最小面积为128.

2

8•解：(1)在椭圆* + F = 1 中,a =怎b = ∖,c = ^a2-b2 =2,:.其焦点为 Fl(-2,0) S F2 (2,0).

在抛物线y =-2x中，P = l, Λ其准线方程为χ = y = ∣. 在双曲线中，c = 2,— = — I .∙. U = Xb = JC- =J.

2

C 2

2

：.所求的双曲线的方程为-r--y = l.

2

Ib- 双曲线的通径H = =6,离心率

a

・四边形ACBD的面•• 积

C

0 = —= 2・于是有：

a

2 1 -4COS2 a 1 -4sin2 a

6 T两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，

二它们的斜率都存在.如图，设直线AB的倾斜角为α ,则直线CD的倾斜角为90 + σ.

o

•专业

当旦仅当sin 2α取得最大值1时，∖

2

lin

=I81这时2α = 90^=45.

oo

・・・四边形ACBD的最小面积为18.

2b* 1ccosa )2 -4庆

2222

a1 sin a-b1 cos a a1 sin a _b' cos a

= __________ 2alr ____________

22

I Cr sin a-h2 cos a I

2b1

= ------- ; -- ;——

a∖∖-e^' cos* a I

2b1

ll- / cos2 a I

H 11 一 / cos2 a I

例】•解：（I）当AB丄X轴时，点A、B关于X轴对称，.∙.加=0,直线AB的方程为 X = L

3 3 从而点A的坐标为（IG）或（h--）.

Z

4 8

9

此时抛物线C?的焦点坐标为（―,0）,该焦点不在直线AB上.

16

（II）设直线AB的倾斜角为G ,由（I ）知α≠[・

2

则直线AB的方程为y = tan α・（x -1）・

1 I √6

/. m = --tanσ ,从而In = ± ——

3 3

当m = 时，直线AB的方程为J6x+y — √δ = 0;

当加=_羊时，直线AB的方程为J6x-y-J5 = O

7

IF1F2 I=C = L 得Λ02+y02 =1.

9

例2•⑴证明：在PFI中' ・・・ZF1PF2 = 90。,。是FI厲的中点, /.IOPl=-

•专业