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人教版B版必修一数学综合试题 考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人：学校:___________姓名：___________
班级：___________考号：___________
题号 得分
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试
卷上均无效，不予记分。
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2-1}与集合{（x，y）|y=x2-1}是同一个集合； （3） ， ， ， ， 这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.若函数f（x）=lg（x2+ax-a-1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（-3，+∞） B.[-3，+∞） C.（-4，+∞） D.[-4，+∞）
fy∈R，3.已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，（x）＜0，且对任意的x，恒有f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（x-2）≥f（8）的解集为（ ） A.（2，4] B.[-2，4]
C.[4，+∞） D.（-∞，-2]∪[4，+∞）
一 二 三 总分
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4.函数y= 的定义域是（ ）
A.[ ，+∞） B.（ ，+∞） C.[ ， ] D.（ ， ]
5.已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x），则f（99）等于（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.99
6.已知a=20.3，b=log0.23，c=log32，则a，b，c的大小关系是（ ） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a
7.设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（）x-1，则f（），f（ ），f（ ）的大小关系是（ ）
A.f（ ）＞f（ ）＞f（ ） B.f（ ）＞f（ ）＞f（ ） C.f（ ）＞f（ ）＞f（ ） D.f（ ）＞f（ ）＞f（ ）
8.定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时， ，则 等于（ ） A. B.- C.2 D.-2 9.函数 的值域为（ ）
A.（0，+∞） B.[0，+∞） C.（1，+∞） D.[1，+∞） 10.函数y= 的单调减区间是（ ）
A.（0，1） B.（0，1）∪（-∞，-1） C.（-∞，1） D.（-∞，+∞）
11.下列函数中，既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（ ）
x
A.y=x2 B.y=e C.y=log0.5|x| D.y=sinx
12.已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且不等式
＞0对任
意两个不相等的正实数x1，x2都成立，在下列不等式中，正确的是（ ） A.f（-5）＞f（3） B.f（-5）＜f（3） C.f（-3）＞f（-5） D.f（-3）＜f（-5）
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.如果关于x的不等式2kx2+kx- ＜0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是 ______ ． 14.函数y=lg（x2-1）的递增区间为 ______ ．
15.已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，且f（x-1）＜f（1-3x），则x的取值范围是 ______ ．
x
16.若方程|3-1|=k有两个不同解，则实数k的取值范围是 ______ ．
三、解答题(本大题共5小题，共70分)
桑水
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17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）； （2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）b，c的值；为函数 的一个承托函数？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
19.全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}， （1）求A∪B，（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．
20.（1）已知f（x）的定义域为[-2，1]，求函数f（3x-1）的定义域； （2）已知f（2x+5）的定义域为[-1，4]，求函数f（x）的定义域．
21.某单位决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为
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450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p； （2）在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少？并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大．
【答案】
1.A 2.A 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A 8.D 9.A 10.A 11.C 12.C 13.（-3，0] 14.（1，+∞） 15.（ ， ] 16.（0，1）
17.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）B（0，3）C（-4，0），
， ∴
解得：a=- ，b=- ，c=3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=- x2- x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形
18.解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）， 可得a-b+c=0，又a=1，b=2，
桑水
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则f（x）=x2+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；
（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数， 且f（x）为函数 的一个承托函数． 即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1， 即1-b=a+c，
又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0， 即为（a+c）2-4ac≤0，即有a=c； 又（a- ）x2+bx+c- ≤0恒成立， 可得a＜ ，且b2-4（a- ）（c- ）≤0， 即有（1-2a）2-4（a- ）2≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1-2a， 可取a=c= ，b= ．满足题意．
19.解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，
∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（CUA）∩（CUB）=（-∞，3）∪[10，+∞）； （2）∵集合C={x|x＞a}，
∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}． 20.解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[-2，1]， 由-2≤3x-1≤1得：x∈[- ， ]，
故函数y=f（3x-1）的定义域为[- ， ]；’ （2）∵函数f（2x+5）的定义域为[-1，4]， ∴x∈[-1，4]， ∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．
21.解：（1）依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy 即p=900x+400y+200xy；
（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥ +200S=200S+1200 ， 又因为p≤3200，所以200S+1200 ≤3200， 解得-16≤ ≤10，
x= 时S取得最大值． ∵S＞0，∴0＜S≤100，当且仅当 ，即
答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是 米．
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【解析】
1. 解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性； （2）中集合{y|y=x2-1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是点； （3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点． 故选A
（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情况．
本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查． 2. 解：令t=x2+ax-a-1，
∵函数f（x）=lg（x2+ax-a-1）在区间[2，+∞）上单调递增， 又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，
∴需要内层函数t=x2+ax-a-1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0， ，解得：a＞-3． 即
∴实数a的取值范围是（-3，+∞）． 故选：A．
由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．
本题考查了复合函数的单调性，关键是注意真数大于0，是中档题． 3. 解：取0＜x1＜x2，则 ＞1，则f（ ）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x2）-f（x1）=f（ •x1）-f（x1）=f（ ）+f（x1）-f（x1）=f（ ）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
则不等式式f（x）+f（x-2）≥f（8）等价为式f[x（x-2）]≥f（8）， ＞ 即 ＞
＞ ，即
＞
，解得2＜x≤4，
即不等式的解集为（2，4]， 故选：A．
根据函数单调性的定义，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，根据条件确定满足条件的函数解不等式即可得到结论．
本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．
4. 解：函数y= ，
桑水
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∴ （5x-2）≥0， 即0＜5x-2≤1， 解得2＜5x≤3， 即 ＜x≤ ；
∴函数y的定义域是（ ， ]． 故选：D．
根据二次根式的性质与对数函数的图象与性质，列出不等式求出解集即可． 本题考查了二次根式与对数函数的性质和应用问题，是基础题目． 5. 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（1）=1， 且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）， ∴f（99）=f（4×25-1）=f（-1）=f（1）=1． 故选：C．
由已知推导出f（99）=f（4×25-1）=f（-1）=f（1），由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 6. 解：∵a=20.3＞20=1， b=log0.23＜log0.21=0， 0=log31＜c=log32＜log33=1， ∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a． 故选：D．
利用对数函数、指数函数的单调性求解．
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用对数函数、指数函数的单调性的合理运用． 7. 解：∵y=f（x+1）是偶函数， ∴f（-x+1）=f（x+1）， 即函数f（x）关于x=1对称．
x
∵当x≥1时，f（x）=（ ）-1为减函数，
∴当x≤1时函数f（x）为增函数．
∵f（ ）=f（ +1）=f（- +1）=f（ ），且 ＜ ＜ ， ∴f（ ）＞f（ ）＞f（ ）， 故选：A．
根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．
8. 解：∵当x＜0时， ，
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∴
∵在R上的奇函数f（x）， ∴ 故选D
fx）根据已知的解析式，先求出 的值，再利用R上的奇函数（性质，即可求出 的值．
本题重点考查函数的性质，解题的关键是正确运用函数的解析式，合理运用函数的奇偶性．
9. 解：y=6+1是增函数，并且y＞1，
y=log5x也是增函数，所以函数 的值域为：（0，+∞）． 故选：A．
判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查函数思想的应用以及计算能力． 10. 解：函数y= ，其定义域为（0，+∞）． 那么：y′=x- ， 令y′=0，解得：x=1．
当x∈（0，1）时，y′＜0，那么函数y在x∈（0，1）上是单调性减函数． 故选：A．
求出函数y的定义域，利用导函数研究其单调性即可．
本题考查了函数单调性的求法，利用了导函数研究其单调性．属于基础题． 11. 解：A、y=x2是偶函数，在（-∞，0）上是减函数，A不正确；
B．y=f（x）=e，且f（-x）=e-≠-f（x），所以y=e不是偶函数，B不正确； C．y=f（x）=log0.5|x|的定义域是{x|x≠0}，且f（-x）=log0.5|-x|=f（x），则该函数为偶函数，
且x＜0，y=log0.5（-x），则由复合函数的单调性知：函数在（-∞，0）上是减函数，C正确；
D．y=sinx是奇函数，在（-∞，0）上不是单调函数，D不正确， 故选C．
分别利用基本初等函数的函数奇偶性和单调性判断A、B，根据函数奇偶性的定义、对数函数、复合函数的单调性判断C，由正弦函数的性质判断D．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断方法，复合函数的单调性，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解题的关键． 12. 解；∵对任意正实数x1、x2（x1≠x2）， 恒有不等式
x
x
x
x
＞0，
f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， ∴f（x）在区间（-∞，0）、（0，+∞）单调递增，
桑水
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∴f（-3）＞f（-5）， 故选：C． 根据不等式
＞0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，得到f（x）在区间
（-∞，0）、（0，+∞）单调递增，从而求出答案．
考查函数的单调性的定义及应用定义比较函数值的大小，是一道基础题． 13. 解：不等式2kx2+kx- ＜0对一切实数x都成立， k=0时，不等式化为 ＜0恒成立， k≠0时，应满足 ，
解得-3＜k＜0．
综上，不等式2kx2+kx- ＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（-3，0]． 故答案为：（-3，0]．
根据不等式2kx2+kx- ＜0对一切实数x都成立，讨论k=0和k≠0时，即可求出k的取值范围．
本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了不等式恒成立的问题，是中档题． 14. 解：由x2-1＞0，解得x＞1或x＜-1， 则函数的定义域是{x|x＞1或x＜-1}， 令t=x2-1，则函数在（1，+∞）单调递增， ∵y=lgt在定义域上单调递增，
∴函数f（x）=lg（x2-1）的单调递增区间是（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞）
根据对数的真数大于0求出函数的定义域，在此基础上研究真数，令t=x2-1，分别判断内层和外层函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调增区间． 本题以对数函数模型为例，考查了同学们对复合函数单调性的掌握，解题时应该牢记复合函数单调性的法则：“同增异减”，注意需要先求出函数的定义域． 15. 解：由题意：函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，
故有： ，解得： ＜
＞ 故答案为：（ ， ]
根据函数的基本性质求解．
本题考查了函数的基本性质的运用，属于基础题． 16. 解：作函数y=|3-1|的图象如下，
x
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，
结合图象可知，
实数k的取值范围是（0，1）．
作函数y=|3-1|的图象，结合图象解得．
本题考查了学生的作图能力及图象的变换的应用，同时考查了数形结合的思想． 17.
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A，B，C带入构造方程组，可求出a，b，c的值，得到抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P（5，3），使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 18.
（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；
（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题． 19.
（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁UA）∩（∁UB）； （2）根据集合关系A⊆C，即可求a的取值范围． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 20.
（1）根据函数定义域的求法，直接解不等式-2≤3x-1≤1，即可求函数y=f（3x-1）的定义域；
（2）由x∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．
本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题 21.
（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P． （2）利用P的表达式和基本不等式求得关于 的不等式关系，求得 的范围，以及等号成立条件求得x的值．
桑水
x
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本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．
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