一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列命题中，正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．三角形的三条高都在三角形内部3．下列计算正确的是（）A．a?a=a
32
3
6
B．（a+b）（a﹣2b）=a﹣2b
26
22
C．（ab）=ab
2
D．5a﹣2a=3
4．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a﹣2ab+b﹣1=（a﹣b）﹣1 B．2x
2
2
2
2
2
2
C．（x+2）（x﹣2）=x﹣4 D．x﹣6x+9=（x﹣3）5．计算A．
B．1
C．
所得正确结果（）
D．﹣1
2
6．一个正多边形的每个外角都是A．9
B．10
C．11
D．12
36°，这个正多边形的边数是（）
7．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC 8．等腰三角形的周长为
13cm，其中一边长为
D．8cm
第1页（共22页）
3cm，则该等腰三角形的底边为（）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm
9．分式方程A．x=﹣2
的解是（）
B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
10．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）
A．48° B．55° C．65° D．以上都不对
11．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△件是（）
ABC≌△DEC，不能添加的一组条
A．BC=EC，∠B=∠E 12．已知：如图，在△
B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线
上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
13．点P（5，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标为．14．因式分解：x﹣6x+9x=．
第2页（共22页）
3
2
15．一个等腰三角形的一个角为16．若a﹣b=
2
2
80°，则它的顶角的度数是．
，a﹣b=，则a+b的值为．
无解，则m的值为．
P，使得△AOP是等腰三角形，则这
17．若关于x的分式方程18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点
样的点P共有个．
三、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
19．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
20．先化简，再求值：（a﹣b）2
+a（2b﹣a），其中
，b=3．
四、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分。
21．图①、图②均为
7×6的正方形网格，点
A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点
B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
22．化简：．
23．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
第3页（共22页）
，并画出以A，
D24．据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘年的平均滞尘量．
2倍少4mg，若一
550mg所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一
五、解答题：本大题共2个小题，每小题各12分，共24分。
25．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图
1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
26．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点运动，同时，点
Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为
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2，过点E作
A向点B
t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判
断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点的运动速度为
xcm/s，是否存在实数
x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的
x、t的值；若不
Q
存在，请说明理由．
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2015-2016学年重庆市垫江县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、B、D都是轴对称图形；C、不是轴对称图形．故选：C．
【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．下列命题中，正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．三角形的三条高都在三角形内部【考点】命题与定理．【分析】根据三角形外角性质对
A进行判断；
根据三角形中线性质和三角形面积公式对B进行判断；
根据三角形全等的判定对C进行判断；根据三角形高线定义对
D进行判断．
【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以A选项错误；
B、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，所以B选项正确；C、两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误；
D、钝角三角形的高有两条在三角形外部，所以
D选项错误．
第6页（共22页）
故选B．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
3．下列计算正确的是（）A．a2
?a3
=a
6
B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b
2
C．（ab3）2
=a2b
6
D．5a﹣2a=3
【考点】多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（（m+n）=am+an+bm+bn；积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：只把系数相加，字母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案．【解答】解：A、a2
?a3
=a2+3
=a5
，故此选项错误；
B、（a+b）（a﹣2b）=a?a﹣a?2b+b?a﹣b?2b=a2
﹣2ab+ab﹣2b2
=a2
﹣ab﹣2b2
．故此选项错误；C、（ab3
）2
=a2
?（b3
）2
=a2b6
，故此选项正确；D、5a﹣2a=（5﹣2）a=3a，故此选项错误．故选C．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆．
4．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2
﹣2ab+b2
﹣1=（a﹣b）2
﹣1 B．2x
2
C．（x+2）（x﹣2）=x2
﹣4 D．x2
﹣6x+9=（x﹣3）2
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误；
C、整式的乘法，故
C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
第7页（共22页）
a+b）
5．计算A．
B．1
C．
所得正确结果（）
D．﹣1
【考点】分式的乘除法．
【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时，先把除法转化成乘法，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：原式===，故选A．
【点评】在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
6．一个正多边形的每个外角都是A．9
B．10
C．11
D．12
36°，这个正多边形的边数是（）
【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是【解答】解：360°÷36°=10，则这个正多边形的边数是故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容，要求同学们掌握多边形的外角和为360°．
10．
360度，正多边形的每个外角都是
36°，即可求出答案．
7．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC 【考点】全等三角形的性质．
第8页（共22页）
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为
D．8cm
3cm，则该等腰三角形的底边为（）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是
3cm时，则另两边是
3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
3cm．
当底边是3cm时，另两边长是故选：B．
5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
9．分式方程A．x=﹣2
的解是（）
B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
【考点】解分式方程．【专题】计算题．
【分析】观察可得最简公分母是
（x﹣2），方程两边乘最简公分母，
第9页（共22页）
可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（2x﹣5=﹣3，解得x=1．
x﹣2），得
检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：故选：C．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
x=1．
10．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）
A．48° B．55° C．65° D．以上都不对【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠前后角相等可知．【解答】解：∠α
+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，
整理可得∠β=55°．故选B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
11．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△件是（）
ABC≌△DEC，不能添加的一组条
第10页（共22页）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件题意；
B、已知AB=DE，再加上条件C、已知AB=DE，再加上条件
BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线
上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，由全等三角形的对应边相等得到
BD=CE，本选项正确；
利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，
第11页（共22页）
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，
等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．【解答】解：①∵∠
BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
13．点P（5，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标为（5，3）．【考点】关于
x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点P′（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（
x，﹣y）．
第12页（共22页）
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P′（5，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（5，3）．
【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
14．因式分解：x﹣6x+9x=x（x﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取【解答】解：原式
x，再利用完全平方公式分解即可．=x（x﹣6x+9）=x（x﹣3），
2
2
2
322
故答案为：x（x﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．一个等腰三角形的一个角为【考点】等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形一内角为
80°，则它的顶角的度数是80°或20°．
80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
80°；
【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为
（2）当80°为底角时，顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．若a﹣b=
22
，a﹣b=，则a+b的值为．
【考点】平方差公式．【专题】计算题．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将【解答】解：∵a﹣b=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=∴a+b=．
第13页（共22页）
2
2
a﹣b的值代入即可求出，
a+b的值．
故答案为：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
17．若关于x的分式方程【考点】分式方程的解．
无解，则m的值为1．
【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方
程，根据解方程，可得答案．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得
x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，
将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．
【点评】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于
m的方程是解题关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这
样的点P共有8个．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】压轴题；数形结合．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点
P共有8个．
故答案为：8．
第14页（共22页）
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
三、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
19．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠【解答】证明：∵∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，
B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．
第15页（共22页）
20．先化简，再求值：（a﹣b）+a（2b﹣a），其中
2
，b=3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式
=a﹣2ab+b+2ab﹣a=b，
2
2
2
2
当b=3时，原式=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
四、解答题：本大题共21．图①、图②均为
4个小题，每小题10分，共40分。
A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点
D，并画出以A，
7×6的正方形网格，点
B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
【考点】作图-轴对称变换．【专题】网格型；开放型．
【分析】先思考什么四边形是轴对称图形，再画，比如可画一个等腰梯形，或画一个关于直线的对称点为D的四边形．
【解答】解：（1）有以下答案供参考
BC的点A
，共4分）
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质．
22．化简：．
第16页（共22页）
【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=?+=+==．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【专题】几何综合题．
【分析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△角形的内角和等于
180°，即可证得△
ABC是等腰三角形；
ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三
（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．
【解答】（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
第17页（共22页）
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．
24．据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘年的平均滞尘量．【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，根据关键语句“若一年滞尘的片数相同，”可得方程
=
x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（
2x﹣4）
2倍少4mg，若一
550mg所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一
1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶
，解方程即可得到答案，注意最后一定要检验．
x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（
2x﹣4）
【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，由题意得：
=
，
解得：x=22，
经检验：x=22是所列方程的解．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为
22毫克．
第18页（共22页）
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
5步进行做题，规范解题步骤，另外还
五、解答题：本大题共2个小题，每小题各12分，共24分。
25．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图
1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠即可得出AE=DB；
（2）由等边三角形的性质得出∠
ABC=∠ACB=∠A=60°，∠DBE=120°，再证出△
AEF是等边三角形，得出
ABC=∠ACB=60°，∠BCE=30°，再证出∠
BED=∠D，得出BE=DB，
2，过点E
AE=EF，BE=CF，证出∠FEC=∠D，证明△EFC≌△DBE，得出EF=DB，即可得出AE=DB．【解答】解：（1）AE=DB；理由如下：∵△ABC是等边三角形，点
E为AB的中点，
第19页（共22页）
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACB=30°，AE=BE，∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，∵∠ABC=∠D+∠BED，∴∠BED=30°=∠D，∴BE=DB，∴AE=DB；故答案为：=；
（2）AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∴∠DBE=120°，∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠DCE，∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC=120°，∴AE=EF，∴BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠DCE，∴∠FEC=∠D，
在△EFC和△DBE中，，
∴△EFC≌△DBE（AAS），∴EF=DB，∴AE=DB；故答案为：=．
第20页（共22页）
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；本题有一定难度，特别是（
2）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和全等三角形才能得出结论．
26．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点运动，同时，点
Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为
t（s）．
A向点B
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判
断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点的运动速度为
xcm/s，是否存在实数
x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的
x、t的值；若不
Q
存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】动点型．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
第21页（共22页）
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
，
解得
；
综上所述，存在
或
使得△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
第22页（共22页）
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