２０１８年第１期（上） 中学数学研究 ２７ 不等式恒成立问题三种解法探讨 东莞市东华高级中学（５２３１２８） 王自强 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种： 解法二（分离参数法）由于 １．直接化为最值＋分类讨论直接化为最值的优点是 函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案 ，（ ）＝（ ＋１）Ｉｎｚ一。（ 一１）＞０ 一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题 过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准； ２．分离参数＋函数最值分类参数的优势在于所得函 数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商， 因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导， 也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到洛必达法则求 极限： ３．缩小范围＋证明不等式缩小参数范围优点是函数 结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊 值，并且这种解法并不流行，容易被误判． 例题（２０１６全国新课标ＩＩ文科第２０题）己知函数 ，（ ）：（ ＋１）Ｉｎｘ—ｎ（ 一１）． （１）当ｎ：４时，求曲线 ＝，（ ）在（１，，（１））处的切线 方程： （２）若当 ∈（１，＋ｏｏ）时，／（ｘ）＞０，求ｎ的取值范围． 解法一（直接法）由于 ，（ ）：（ ＋１）Ｉｎｚ一０（ 一１）＞０ 在 ∈（１，＋∞）上恒成立，则 ， ）：ｌｎ ＋ 一ｎ， ，，，（ 三一刍＝ ＞０， 则， ）＝ｌｎ ＋ 一０在ｚ∈（１，＋ｏｏ）上为增函数，则 ， （ ）＞， （１）＝２一ｎ， （１）当０≤２时，则， （ ）＞０，故，（ ）在 ∈（１，＋∞） 上为增函数，则有／（ｘ）＞／（１）＝０，故，（ ）＝（ ＋１）ｌＩｌ 一 ａ（ｘ一１）＞０在 ∈（１，＋∞）上恒成立，符合题意； （２）当ｎ＞２时，则， （１）＜０，且， （ｅ。）＞０，故 ， （ ）＝０在 ∈（１，＋∞）有唯一实根 ｏ，则，（ ）在（１，ＸＯ） 为减函数，又／（１）＝０，则 ∈（１， ０），．厂（ ）＜／（１）＝０，不 符合题意．综上所述，口≤２． 在 ∈（１，＋。ｏ）上恒成立等价于。＜ 在 ∈（１，＋∞）上恒成立． １一一—２ｌｎ 设ｇ（ ）＝ ， ）： ｆ １、２ 。 令九（ｚ）＝ 一 一２１ｎ ，则＾ ）＝ ２＋ —— 一；一 ＞０，从而ｈ ）： 一 １－２１ｎ 在 ∈（１，＋。ｏ） 上为增函数，所以，ｈ（ｘ）＞ （１）＝０．则夕 （ ）＞０， 夕 ）＝ 兰 在 ∈（１，＋ｏ。）上为增函数．因为 ｌｉａｒ ｌｉｍ一一＋ ＝ｌｉＩＩ１ｚ— ｌ＋．（、 三＋１＋Ｉｎｘ）＝２， 故实数０的取值范围为０≤２． 解法三防小范围）由于 ／（ｘ）＝（ ＋１）Ｉｎｘ—ａ（ｘ一１）＞０ 在ｚ∈（１，＋∞）上恒成立且．，（１）＝０，则存在ｍ＞１， 使得／（ｘ）在 ∈（１，ｍ）上为增函数．这等价于， （ ）＝ ｌｎ ＋ 一。≥０对 ∈（１，ｍ）恒成立． 令 ＝１，， （１）≥０得０≤２．当ｎ≤２时， ， （ ）＝三一 １＝ ＞０ 则．， （ ）：Ｉｎ ＋ 一口在 ∈（１，＋。ｏ）上为增函数，则 ， （ ）＞， （１）＝２－０≥０．故，（ ）在 ∈（１，＋。ｏ）上为增函 数，贝０有／（ｘ）＞／（１）＝０，故，（ ）＝（ ＋１）Ｉｎｘ—ｎ（ ～１）＞ ０在ｚ∈（１，＋ｏｏ）上恒成立，从而０≤２． 点评当端点刚好适合题意时，则分离参数法可能会用 到洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参 数范围． 牛刀小试已知函数，（ ）＝ｅ。（ａＸ＋ｂ）一ｅ Ｉｎｚ． （１）若函数．厂（ ）在 ＝１处取得极值，且ｂ＝ｌ，求０； （２）若ｂ＝一ｏ，且函数，（ ）在【１，＋。ｏ）上单调递增，求 ０的取值范围． 答案（１）ｎ＝Ｏ；（２）０≥１．