2019-2020学年广东省深圳中学九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省深圳中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1．（3分）若反比例函数y=图象经过点（5，﹣1），该函数图象在（ ） A．第一、二象限 C．第二、三象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

𝑘

𝑥2．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）

A．1.25米

B．5米

C．6米

D．4米

4．（3分）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A．y＝5（x﹣2）2+1 C．y＝5（x﹣2）2﹣1

B．y＝5（x+2）2+1 D．y＝5（x+2）2﹣1

5．（3分）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ） A．

61

B．

9

2

C． 3

1

D． 3

2

6．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是（ ）

A．30°

B．45°

C．55°

D．60°

7．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

8．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则𝐴𝐵

̂的长为（ ）

A．2

3π

B．π C．4

3

𝜋

D．5

3

𝜋

9．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2018的值为（ ） A．2022

B．2020

C．2018

D．2016

10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(1

2，0)，有下列结论：其中正确的结论是（ ①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0； ③2a+b＝0； ④3b+2c＞0．

）

A．①③

B．①④

C．①②

D．②④

12．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①△BDE∽△DPE； ②

𝐹𝑃

𝐹𝐻

=

2√3； 3

③DP2＝PH•PB； ④tan∠DBE=2−√3．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

二、填空题（共4小题，共12分）

13．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有 个红球．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝ ．

15．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为 ．

16．（3分）如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线𝑦=𝑥（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝ ．

𝑘

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（5分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°． 18．（6分）解方程： （1）（3x+2）2＝25； （2）x2﹣7x+10＝0．

19．（6分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米． （1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD． （2）求乙建筑物的高CD．

20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC；

（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D=5，求AF的长．

4

21．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=2AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．

1

23．（15分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y=−点C．

2√324√3x−x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于33（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年广东省深圳中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1．【解答】解：∵反比例函数y=𝑥的图象经过点（5，﹣1）， ∴k＝5×（﹣1）＝﹣5＜0， ∴该函数图象在第二、四象限． 故选：D．

2．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，

所以，左视图是圆的几何体是球． 故选：B．

3．【解答】解：如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知解得AM＝5m．

则小明的影子AM的长为5米． 故选：B．

𝐴𝐵𝑂𝐶𝑘

=

𝐴𝑀𝑂𝐴+𝐴𝑀

，即1.68

=

𝐴𝑀20+𝐴𝑀

，

4．【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位， 得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1， 故选：A．

5．【解答】解：画树状图如下：

一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，

∴P（一红一黄）=6=3． 故选：C．

6．【解答】解：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∵AB是⊙O的直径，

∴∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°． 故选：D．

7．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5， ∴AC＝2OB＝10，

∴CD＝AB=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√102−82=6， ∵M是AD的中点， ∴OM=2CD＝3． 故选：C．

8．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， 在四边形APBO中，∠P＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝2， ̂的长l=∴𝐴𝐵故选：C．

9．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴m2+m﹣1＝0， 即m2+m＝1， ∴2m2+2m+2018 ＝2（m2+m）+2018 ＝2×1+2018 ＝2020．

120𝜋×24

=π， 18031

21

故选：B．

10．【解答】解：A、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x=2𝑎＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；

B、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x=2𝑎＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；

C、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向上，对称轴x=2𝑎＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；

D、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．

11．【解答】解：由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（−，0）， ①由图象可得，开口向下，则a＜0， 对称轴x=−

𝑏

=−1， 2𝑎52𝑏

𝑏

𝑏

∴b＝2a＜0，

抛物线与y轴的交点c＞0， ∴abc＞0；

②∵抛物线与x轴的交点为(，0)，（−，0）， ∴=−，

𝑎

4

𝑐

5

1

252∴c=−4a，

∴a﹣2b+4c＝a﹣4a−a=−③2a+b＝2a+2a＝4a＜0； ④3b+3c＝6a−4a=4a＜0； ∴①②正确； 故选：C．

12．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，

15

95

417

a＞0； 45

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， 在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90° ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°， ∴∠PDE＝15°，

∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠EBD＝∠EDP， ∵∠DEP＝∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正确； ∵PC＝CD，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝75°， ∴∠FDP＝15°， ∵∠DBA＝45°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠FDP＝∠PBD， ∵∠DFP＝∠BPC＝60°， ∴△DFP∽△BPH， ∴∴

𝑃𝐹𝑃𝐻𝑃𝐹𝐹𝐻

==

√3， 3

√3√3−1=，故②错误； 3+√32

∵∠PDH＝∠PCD＝30°， ∵∠DPH＝∠DPC， ∴△DPH∽△CDP， ∴

𝑃𝐷𝐶𝐷

=

𝑃𝐻𝑃𝐷

，

∴PD2＝PH•CD， ∵PB＝CD，

∴PD2＝PH•PB，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形， ∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4， ∴∠PCD＝30°

∴CM＝PN＝PB•sin60°＝4×PM＝PC•sin30°＝2， ∵DE∥PM， ∴∠EDP＝∠DPM， ∴∠DBE＝∠DPM， ∴tan∠DBE＝tan∠DPM=故选：B．

𝐷𝑀4−2√3==2−√3，故④正确； 𝑃𝑀2√32=2√3，

二、填空题（共4小题，共12分） 13．【解答】解：设袋中有x个红球． 由题意可得：

𝑥30

=20%，

解得：x＝6， 故答案为：6．

14．【解答】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0）， ∴

𝑂𝐴𝑂𝐷

=

1.54.5

=，

3

1

∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， ∴

𝐴𝐵𝐷𝐸

=

1

𝑂𝐴𝑂𝐷

=

31

1

∴AB=3DE=3×7.5＝2.5． 故答案为2.5．

15．【解答】解：连接BD，

∵BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，AD2＝22+22＝8，2+8＝10， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴cosA=𝐴𝐵=故答案为：

𝐴𝐷

=10=5．

√10√84√52√52√5． 5

16．【解答】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD， ∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO， ∴OD2＝CD•DA，

设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m）， 则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16， CD=√2（m+n﹣4），DA=√2n， 即2n2﹣8n+16=√2（m+n﹣4）×√2n， 解得：mn＝8＝k， 故答案为8．

三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．【解答】解：原式＝4×

√32−3×√3+2×

√22×

√22=1−√3．

18．【解答】解：（1）（3x+2）2＝25 3x+2＝5或3x+2＝﹣5 x1＝1，x2=−3． （2）x2﹣7x+10＝0 （x﹣2）（x﹣5）＝0 x﹣2＝0或x﹣5＝0 x1＝2，x2＝5．

7

19．【解答】解：（1）作CE⊥AB于点E， 在Rt△ABD中，AD=𝑡𝑎𝑛𝛼=

𝐴𝐵

30=10√3（米）； √3（2）在Rt△BCE中，CE＝AD＝10√3米， BE＝CE•tanβ＝10√3×3=10（米）， 则CD＝AE＝AB﹣BE＝30﹣10＝20（米） 答：乙建筑物的高度DC为20m．

√3

20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC， ∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D， ∴∠C＝∠AFB， ∴△ABF∽△BEC；

（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D=5， ∴AE＝4，

∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE＝90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√42+82=4√5， ∵BC＝AD＝5，

由（1）得：△ABF∽△BEC， ∴

𝐴𝐹𝐵𝐶

4

=

𝐴𝐵𝐵𝐸

，即

𝐴𝐹5

=

84√5，

解得：AF＝2√5．

21．【解答】解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，

每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52， （2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10（x﹣57）2+2890， 当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元． 22．【解答】（1）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO．

又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB， ∴∠A＝∠ACO＝∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°． ∴∠PCB+∠OCB＝90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC＝PC， ∴∠A＝∠P，

∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．

又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB， ∴∠COB＝∠CBO， ∴BC＝OC． ∴BC=2AB．

1

（3）解：连接MA，MB， ̂的中点， ∵点M是 𝐴𝐵̂=𝐵𝑀̂， ∴𝐴𝑀

∴∠ACM＝∠BCM． ∵∠ACM＝∠ABM， ∴∠BCM＝∠ABM． ∵∠BMN＝∠BMC， ∴△MBN∽△MCB． ∴

𝐵𝑀𝑀𝐶

=

𝑀𝑁𝐵𝑀

．

∴BM2＝MN•MC．

̂=𝐵𝑀̂， 又∵AB是⊙O的直径，𝐴𝑀∴∠AMB＝90°，AM＝BM． ∵AB＝8， ∴BM＝4 √2． ∴MN•MC＝BM2＝32．

23．【解答】解： （1）∵抛物线y=−

2√324√3x−x+2√3， 332√32√3∴其梦想直线的解析式为y=−3x+3，

𝑦=−3𝑥+3𝑥=−2𝑥=1

联立梦想直线与抛物线解析式可得{，解得{或{，

𝑦=2√3𝑦=02√324√3𝑦=−3𝑥−3𝑥+2√3∴A（﹣2，2√3），B（1，0），

故答案为：y=−3x+3；（﹣2，2√3）；（1，0）；

2√32√32√32√3

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形， 如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，

在y=−

2√324√3x−x+2√3中，令y＝0可求得x＝﹣3或x＝1， 33∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2√3）， ∴AC=√(−2+3)2+(2√3)2=√13， 由翻折的性质可知AN＝AC=√13，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=√𝐴𝑁2−𝐴𝐷2=√13−4=3， ∵OD＝2√3，

∴ON＝2√3−3或ON＝2√3+3，

当ON＝2√3+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意， ∴N点坐标为（0，2√3−3）；

当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2√3， ∴tan∠DAM=𝐴𝐷=√3， ∴∠DAM＝60°，

𝑀𝐷

∵AD∥x轴，

∴∠AMC＝∠DAO＝60°，

又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°， ∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3， ∴MP=MN=，NP=

32

1232√32MN=

3√3， 2∴此时N点坐标为（，3√3）； 2

32

3√3）； 2

综上可知N点坐标为（0，2√3−3）或（，

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC＝EF， ∴∠ACK＝∠EFH， 在△ACK和△EFH中

{∠𝐴𝐾𝐶=∠𝐸𝐻𝐹 𝐴𝐶=𝐸𝐹

∴△ACK≌△EFH（AAS）， ∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2√3， ∵抛物线对称轴为x＝﹣1， ∴F点的横坐标为0或﹣2， ∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F（0，

2√3），此时点E在直线AB下方， 32√34√34√3∠𝐴𝐶𝐾=∠𝐸𝐹𝐻

∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2√3−3=3，即E点纵坐标为−3，

∴E（﹣1，−

4√3）； 3当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2√3）， ∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，√3）， 设E（﹣1，t），F（x，y）， 则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2√3， ∴x＝﹣4，y＝2√3−t，

代入直线AB解析式可得2√3−t=−3×（﹣4）+3，解得t=−3， ∴E（﹣1，−

10√34√3），F（﹣4，）； 33

4√32√34√310√32√32√34√3综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，−3）、F（0，）或E（﹣1，−3）、F（﹣4，）．

33