知识要点基础练
知识点1 全等三角形
1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是
(C)
A.∠A=∠D C.AC=DB
B.∠ACB=∠DBC D.AB=DC
2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是 SSS .
知识点2 等腰三角形的性质
3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是 A.15 cm C.17 cm
B.15 cm或16 cm D.16 cm或17 cm
(D) (D)
4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为 A.30° C.75°或105°
B.75° D.30°或75°
知识点3 等腰三角形三线合一
5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为
(C)
A.5
B.6 C.8 D.10
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD= 4 .
综合能力提升练
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是 (D)
A.是边BB'上的中线 B.是边BB'上的高 C.是∠BAB'的平分线 D.以上三种性质都有
8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是
(B)
A.20° C.35°
B.30° D.40°
9.若实数m,n满足等式|m-4|+ - =0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是 A.22 C.16
B.20 D.20或16
(B)
10.(张家界中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为 15° .
11.如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,M是CD的中点. 求证:AM⊥CD.
证明:连接AC,AD.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD, ∴△ACD是等腰三角形. ∵M是CD的中点, ∴由三线合一知AM⊥CD.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.
解:过点E作EG∥AC交BC于点G,
∴∠F=∠DEG,∠EDG=∠FDC,∠ACB=∠EGB. ∵AB=AC,∴∠ACB=∠B, ∴∠B=∠EGB,∴BE=EG. ∵BE=CF,∴EG=CF.
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.
拓展探究突破练
13.(常州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. (1)求证:OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD,CE是△ABC的两条高线, ∴∠BEC=∠BDC=90°,
∴△BEC≌△CDB,∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,
∴∠A=180°-2×50°=80°.
∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=100°.
第2课时 等腰三角形的有关性质
知识要点基础练
知识点1 等腰三角形中相等的线段
1.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD,则线段CD (D) A.是边AB上的中线 B.是边AB上的高线 C.是∠ACB的平分线 D.不一定是边AB上的中线
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2BM,AN=2NC.求证:DM=DN.
证明:∵AM=2MB,∴AM= AB. 同理AN= AC. 又∵AB=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
∴△AMD≌△AND(SAS), ∴DM=DN.
知识点2 等边三角形的性质
3.(福建中考)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 (A)
A.15° C.45°
B.30° D.60°
4.如图所示,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC的度数为 (A)
A.60°
B.45°
C.40°
D.30°
5.边长为6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为 3 cm .
6.如图,在等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC于点M.求证:M是BE的中点.
证明:连接BD.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵CD=CE,∴∠CDE=∠E=30°. ∵BD是AC边上的中线,
∴BD平分∠ABC,即∠DBC=30°, ∴∠DBE=∠E,∴DB=DE,
又∵DM⊥BE,
∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.
综合能力提升练
7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 A.顶角的一半 B.底角的一半 C.90°减去顶角的一半 D.90°减去底角的一半
8.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是 (A)
(A)
A.100°
B.80°
C.70°
D.50°
9.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,则下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是 (B)
A.3 C.1
B.2 D.0
10.(徐州中考)边长为a的正三角形的面积等于 11.
2
a .
如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下几个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③∠AOB=60°.恒成立的有 ①②③ .(把你认为正确的序号都填上) 12.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
解:猜想:AP=CQ.
证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∵∠PBQ=60°,∴∠ABC=∠PBQ,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.
在△ABP和△CBQ中,
∴△ABP≌△CBQ(SAS). ∴AP=CQ.
拓展探究突破练
13.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h. “若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.” 请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不用证明.
解:当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立. 理由:连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC,
∴
AB·PD+ BC·PF+ CA·PE= BC·AM, ∴PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.
当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2-h3=h. 提示:∵S△PAB+S△PCA-S△PBC=S△ABC,
∴
AB·PD+ CA·PE- BC·PF= BC·AM, ∴PD+PE-PF=AM, ∴h1+h2-h3=h.
第3课时 等腰三角形的判定
知识要点基础练
知识点1 等腰三角形的判定
1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是 A.∠A=3°,∠B=60°
B.∠A=50°,∠B=80° C.AB=AC=2,BC=4 D.AB=3,BC=7,周长为18
2.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是
A.(4,0)
B.(1,0)
(B)
(B)
C.(-2 ,0) D.(2,0)
3.(桂林中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 3 .
知识点2 反证法
4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设 A.a∥b
B.a与b垂直
D.a与b相交
(B) (D)
C.a与b不一定平行
5.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设 A.三角形中有一个内角小于60° B.三角形中每一个内角都小于60° C.三角形中有一个内角大于60° D.三角形中每一个内角都大于60°
综合能力提升练
6.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为 (A) A.5 C.7
B.6 D.8
7.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设 a=b .
8.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是 等腰直角三角形 .
9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ①②③④ .(写出所有正确答案的序号)
①∠BAD=∠CAD;②BD=CD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.
10.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
解:△AFC是等腰三角形.
理由:∵∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE,
∴AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∴∠FAC=∠FCA, ∴△AFC是等腰三角形.
拓展探究突破练
11.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E. (1)求证:△ADE是等腰三角形;
(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.
解:(1)∵BD=AB,∴∠BAD=∠BDA.
∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°.
又∵∠BAC=90°,∴∠EAD=∠EDA,
∴△ADE是等腰三角形.
(2)还有三个等腰三角形:△ABD,△ABC,△CDE.
第4课时 等边三角形的判定
知识要点基础练
知识点1 等边三角形的判定
1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为
(C)
A.6 C.9
B.8 D.12
2.如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,则△ADE A.不是等边三角形 B.不一定是等边三角形 C.一定是等边三角形 D.无法判断
3.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE=AE=CE,
(C)
并且∠BED=∠CED=60°.下列结论:①△ABC是等边三角形;②BD=CD;③BE平分∠ABC;④AD⊥BC.其中正确的有(D) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点2 含30°角的直角三角形
4.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为
(C)
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC= 2 cm.
综合能力提升练
6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是 (D) A.直角三角形 C.等腰三角形
B.钝角三角形 D.等边三角形
7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于 (B)
A.25°
B.30°
C.45°
D.60°
8.(淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 (B)
A.4
B.6
C.4
D.8
9.如图,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=60°.
(1)OP= 10 时,△AOP为等边三角形; (2)OP= 5或20 时,△AOP为直角三角形.
拓展探究突破练
10.如图,△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.
证明:由条件知∠ACD=120°,∴∠ACE=∠ECD=60°,
在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠B=∠ACE,CE=BD,
∴△ABD≌△ACE,∴AE=AD,∠BAD=∠CAE, ∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等边三角形.
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