数列递推关系与单调性

数列递推关系与单调性

数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性）

求数列的通项公式：法一：直接求an；法二：先求Sn，再求an，要注意n的变化

一．线性的

1.已知Sn2an1求an 2.已知Sn2an1求an 3.已知a11,Sn2an12，求an注意序号的变化 二．非线性的 1.已知an0，2Sna2nan2；求an 22an，求an 2.已知an0，4Snan3.已知an0，2Snan1，求an anS1,n1总结：（1）an这主要是解题的步骤；（2）决策好先求an还是Sn;SnSn1,n2（3）Snf(an)与Snf(an1)的区别 递推关系： （1）an1anf(n) Exe1.已知a11，an1ann，求an 2.已知a11，an1an2n，求an 3.已知a11，an1an2nn，求an 4.已知a11，an1an1，求an

n(n1)（2）an1anf(n) Exe1.已知a11，an1ann，求an n1来源：网络转载

2.已知a11，an1ann2，求an n3.已知a11，an1nan，求an

（3）an1AanB（A1） Way1:an1BBA(an)1A1A

an1anBn1AnAn1 Way2.AExe.1已知a11，an12an1，求an 2.已知a11，an13an1，求an 3.已知a11，an15an2，求an （4）an1Aanf(n)(A1) 分为两类：1.f(n)pnq2.f(n)qn 1.an1Aanpnq Way1.（1）：：：an1anpnqnn1 n1AAAWay2.（2）：：：an1x(n1)yA(anxny) Exe1.已知a11,an12ann，求an 2.已知a11,an13an2n1，求an 2. Exe1.已知a11,an12an3n，求an 2.已知a11,an13an2n，求an 3.已知a11,an12an2n，求an 4.已知a11,an12an3n2，求an 5.已知a11,an12an3nn1，求an

（5）an1f(n)anp(n) 来源：网络转载

h(n1) h(n)Way:::f(n)Exe1.已知a11,an12.已知a11,an1n11an，求an nnnann，求an n1（6）an2Aan1Ban； Way1.：：：化三项为两项处理

Way2.:::公式法处理;这个递推关系的二阶特征根方程为x2AxB （1）当方程有两个不同根x1,x2， 2设anx12tx2，其中t与是由首项确定的 （2）当方程有两个相同实数根时x1x2, 设an(nt)x1n，其中t与是由首项确定的 （3）当方和无解时，它将和周期有关系anrn(AsinnBcosn) n1anan1t.......(1)Way3.可以构建方程； n1anan1......(2)Exe1.已知a1a21，an27an112an，求an 2.已知a1a21，an25an16an，求an 3.已知a1a21，an24an14an，求an 4.已知a1a21，an1an2an，求an aan) b（7） a(adbcn1cadWay1:找an1nf(an)对应的背景函数yf(x)利用函数的不动点f(x)x Way2:利用特征根方程：xaxb cxdanx1}为等比数列； anx21}为等差数列； anx1（1）若有两个不相等的根x1,x2，则{（2）若方和有两个相等的实数解：则{来源：网络转载

（3）若方程没有实数解，则数列{an}为周期数列； Exe1.已知a11，an1an6，求an an42.已知a11，an1an4，求an an31，求an an13.已知a11，an14.已知a11，an13an8，求an an3这里要注意，分式结构的变化很多，它可以： an1anAan1BanC0就是分式结构的转换， 可以是：an1anAan1Ban0考查没有常数项，同除以an1an这样就比上面的模型快 （8）an1Aanf(n) Way:::主要是降幂，取对数； 22an，求an Exe1.已知a11，an1an2.已知a11，an12a(9)其它形式 1n(n1)n，求an 21，求an （1）已知a11，an12an（2）已知f1(x)x，f(f(f(x)))fn(x)，fn1(x)fn(f(x))，求fn(x) n个f（3）已知a11，an1an2n，求an （4）a11，a22，an2(1)n1nan3ansin21(1)n，求an

22数列的单调性函数的单调性

（1）{an}为单调递增an1anan1an0 （2）{an}为单调递减an1anan1an0 （3）{an}为常数列an1anan1an0 来源：网络转载

（4）{an}为摆动数列

策略：（1）作差与作商，（2）构建函数

Exe1.数列{an}满足ann2n，且为递增的，求的取值范围； 2.数列{an}满足an3n2n，且为递增的，求的取值范围； 3.数列{an}满足an3n(2)n，且为递增的，求的取值范围；

111n1n2n31115.判断f(n)n1n2n34.判断f(n)1的单调性； 2n1的单调性； 2n16.数列{an}满足：a1a，an1an2n，若数列{an}递增，求a的取值范围 来源：网络转载