2007年高考数学试卷(海南、宁夏理)

考试理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题p:xR，sinx≤1，则（ ） Ａ．p:xR，sinx≥1

Ｂ．p:xR，

sinx≥1

Ｃ．p:xR，sinx1

Ｄ．p:xR，

（ ）

y

1  3  O   621

Ａ．

y

1

   O 62

1

Ｃ．

y 1  x

 3 O 21  6 x

Ｂ．

y   3x  2 61  3O  x

1 Ｄ．

sinx1

4．已知an是等差数列，a1010，其前10项和

，，b(1，1)，则向量2．已知平面向量a(11)13ab（ ） 22S1070，

则其公差d（ ） Ａ．开始 k1 Ｃ．

1) Ａ．(2，

， Ｂ．(21)，2) Ｄ．(1

2 3Ｂ．1 31 3Ｄ．

2 3

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，

2S0 否 ，0) Ｃ．(1k≤50?3．函数ysin2xππ在区间的简图是，π32是 SS2k 输出S 结束 kk1 P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线上， 1(x13(x3且2x2x1x3， 则有（ ） Ａ．FP1FP2FP3

Ｂ．FP1FP2229．若

cos22sin的值为，则cosπ2sin4（ ）

2FP3

Ｄ．FP22Ａ．7 2

1x2

Ｂ．1 2

Ｃ．2FP2FP1FP3 FP·FP3 1Ｃ．

7．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，

1 2 Ｄ．

7 22(ab)2x，c，d，y成等比数列，则的最小值是

cd（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

10．曲线ye在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三

角形的面积为（ ）

Ａ．

20正视图

20侧视图

92e 2220Ｂ．4e Ｃ．2e Ｄ．e

2240003cm 380003cm Ｂ．3Ａ．

Ｃ．2000cm Ｄ．4000cm

33

10

10 20俯视图

11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5

5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 题为必考题，每个试题考生都必须做答，

环数 7 8 9 10 第22题为选考题，考生根据要求做答． 频数 4 6 6 4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5

分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

丙的成绩 14．设函数f(x)s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩

的标准差，则有（ ） Ａ．s3s1s2 Ｃ．s1s2s3

Ｂ．s2s1s3 Ｄ．s2s3s1

(x1)(xa)为奇函数，则

xa ．

510i ．（用abi的

34i形式表示，a，bR）

15．i是虚数单位，

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则

h1:h2:h（ ）

Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｄ．3:2:3 BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔

顶A的仰角为，求塔高AB．

Ｃ．3:2:2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO平面ABC；

（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值． 19．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形

M，可按下面

S

方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有mC 个点落入MO 中，则M的面

B 积的估计值为A

D C

M mS，假设正n方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．

（I）求X的均值EX； （II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计

A B

x2y21有两个不同的交点P和Q． 直线l与椭圆2（I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为

A，B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共

线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）

)内的概率． 值与实际值之差在区间(0.03，附表：P(k)Ct0kt100000.25t0.7510000t

2425 2574 0.9570 2575 0.9590 k 2424 P(k) 0.0403 0.0423 21．（本小题满分12分）

f(x)ln(xa)x2

（I）若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；

（II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有

（Ⅰ）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修45；不等式选讲 设函数f(x)2x1x4． （I）解不等式f(x)2； （II）求函数yf(x)的最小值．

e极值之和大于ln．

2 22．请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．

，P，O，M四点共圆； （Ⅰ）证明A（Ⅱ）求OAMAPM的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

P A B

O M

C O1和O2的极坐标方程分别为

4cos，4sin．

17．解：在△BCD中，CBDπ．

2007年普通高等学校招生全国统一

考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．Ｃ 5．Ｃ 7．Ｄ 11．Ｂ 二、填空题 13．3 三、解答题

由正弦定理得所以BC在

BCCD．

sinBDCsinCBDCDsinBDCs·sin．

sinCBDsin()Rt△ABC中

，

AtBs·taaBn． siCnnA(sCS

i)nB18．证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SCSA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

M

OAOBOC2OBC，BC为且A又△SSA，

2B O A

C

2等腰三角形，故SOBC，且SOSA，从而

22．Ｄ 3．Ａ 6．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 12．Ｂ 14．1

4．Ｄ 10．Ｄ

OA2SO2SA2．

所以△SOA为直角三角形，SOAO．

又AOBOO．

所以SO平面ABC． （Ⅱ）解法一：

，OM，由（Ⅰ）知取SC中点M，连结AMSOO，CSAACOMSC，AMSC． ，得

15．12i

16．240

∴为二面角ASCB的平面角．

由AOBC，AOSO，SOBCO得AO平面SBC．

所以AOOM，又AM故MOSC，MASC，ASCB的平面角．

MO·MA3， cosMO，MA3MO·MA所以二面角ASCB的余弦值为3SA， 2故sinAMOAO26． AM333． 33． 3所以二面角ASCB的余弦值为解法二：

19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为ykx2，

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz．

x2(kx2)21． 代入椭圆方程得2整理得1k2x222kx10 ① 2，0，0)，则C(1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，． 设B(1SC的

中

点

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

11M，0，22，

18k24k24k220，

21111MO，0，，MA，1，，SC(1，0，1)．

2222z S 解得k2或2∴MO·SC0，MA·SC0．

M kC

2．即k的2O x B A y 22∞∞，2，． 2（

Ⅱ

）

设

每个点落入M中的概率均为p依题意知X~B10000，． （Ⅰ）EX10000（

Ⅱ

）

依

1

． 4

P(1，x，1)y，(Q2，x)则y14OPOQ(x1x，2yy)1，

由方程①，x1x212500． 4意

所

求

概

率

为

42k． ②

12k2题

XP0.03410.03，

10000XP0.03410.03P(2425X2575)10000

2574又y1y2k(x1x2)22． ③

而A(2，，0)B(01，)，AB(21，)．

所

以

OPO与AB共线等价于

x1x22( )y1，y2t24262574Ct100000.25t0.7510000t

2425t02将②③代入上式，解得k．

2由（Ⅰ）知k数k．

20．解：



t2426Ct100000.250.75t10000ttC100000.25t0.7510000122或k，故没有符合题意的常220.95700.04230.9147．

21．解： （Ⅰ）f(x)12x， xa3． 2依题意有f(1)0，故a2x23x1(2x1)(x1)f(x)．

33xx22331时，f(x)的定义域为，∞，当x22内f(x)0，故f(x)的极值．

（ⅱ）若0，则a2或a2．

(2x1)2若a2，x(2． ，∞)，f(x)x2当

f(x)0；

当1x当xx1时，f(x)0； 222时，

f(x)，当

1时，f(x)0． 222x2，，∞时，f(x)0，所以22从而，f(x)分别在区间，1，∞单调增，3212f(x)无极值．

加，在区间1，（Ⅱ）

21单调减少． 2(2x1)2若a2，x(20，，∞)，f(x)x2f(x)也无极值．

（ⅲ）若0，即af(x)的定义域为(a，∞)，

2或a2，则

f(x)22x2ax1．

xa22x22ax10有两个不同的实根

方程2x2ax10的判别式4a8． （ⅰ）若0，即2a2，在f(x)的定义域

aa22aa22，x2． x122a2时，x1a，x2a，从而f(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 当aOPMAPM90°． 所以OAMAPM90°．

22．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

2时，x1a，x2a，f(x)在f(x)的定

得（Ⅰ）xcos，ysin，由4cos义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)在

24cos．

xx1，xx2取得极值．

所以x2y24x．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞)．

即x2y24x0为O1的直角坐标方程． 同理x2y24y0为O2的直角坐标方程．

（Ⅱ）由

f(x)的极值之和为

1ef(x1)f(x2)ln(x1a)x12ln(x2a)x22lna211ln2ln22．

22．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与O相切于点P，所以OPAP． 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC． 于是OPAOMA180°． 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角

，P，O，M四点共圆． 互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP A B O M xy4x0，22xy4y0解

得

C x10，y10，OAMOPM． 由（Ⅰ）得OPAP． 由圆心O在PACx22． y22的内部，可知

0)和(2，2)．过交点的直线的O1，O2交于点(0，直角坐标方程为yx． 22．Ｃ解：

（Ⅰ）令y2x1x4，则

y 1x5， x≤，21y3x3， x4，．．．．．．．．．．．．．．．3分

2x5， x≥4．作出函数y2x1x4的图象，它与直线y2的

y2 O 1 24 x 2)和，交点为(7，2．

53所以2x1x42的解集为(x， 7)，x．（Ⅱ）由函数y2x1x4的图像可知，当x时，y2x1x4取得最小值

53129． 2