2016年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题 1．（5分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）（2016•浙江）函数y=sinx的图象是（ ）
2
A． B． C．
D．
4．（5分）（2016•浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，
则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．
5．（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
2
6．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）=x+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x
7．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2，x∈R．（ ）
b
A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2，则a≤b
b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2，则a≥b 8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，
**
An≠An+1，n∈N，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
第1页（共15页）
A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列
二、填空题 9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm，体积是 cm．
2
3
2
B．{Sn}是等差数列
2
D．{dn}是等差数列
222
10．（6分）（2016•浙江）已知a∈R，方程ax+（a+2）y+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
2
11．（6分）（2016•浙江）已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，b= ．
12．（6分）（2016•浙江）设函数f（x）=x+3x+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）
2
（x﹣a），x∈R，则实数a= ，b= ． 13．（4分）（2016•浙江）设双曲线x﹣
2
3
2
=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲
线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ． 14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 ．
15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，则|
=1，若为平面单位向量，
|+||的最大值是 ．
第2页（共15页）
三、解答题 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N． （Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和． 18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
*
19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
2
20．（15分）（2016•浙江）设函数f（x）=x+（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x （Ⅱ）＜f（x）≤．
2
3
，x∈[0，1]，证明：
第3页（共15页）
2016年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题 1．（5分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 【解答】解：∁UP={2，4，6}，
（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}． 故选C． 2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C．
3．（5分）（2016•浙江）函数y=sinx的图象是（ ）
2
A． B． C．
D．
2
2
【解答】解：∵sin（﹣x）=sinx，
2
∴函数y=sinx是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；
2
由y=sinx=0，
2
则x=kπ，k≥0， 则x=±，k≥0，
故函数有无穷多个零点，排除B， 故选：D
第4页（共15页）
4．（5分）（2016•浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，
则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等． 联立方程组
，解得A（2，1），
联立方程组，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为d=故选：B．
5．（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
【解答】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 故选：D．
=
，
第5页（共15页）
6．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）=x+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣（1）若b＜0，则﹣＞﹣
．
，
2
，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件． （2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等， 则fmin（x）≤﹣，即﹣
≤﹣，解得b≤0或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件． 故选A．
7．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2，x∈R．（ ）
b
A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2，则a≤b
b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2，则a≥b
【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|， 即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，
b
B．若f（a）≤2，
x
则由条件知f（x）≥2，
aab
即f（a）≥2，则2≤f（a）≤2， 则a≤b，故B正确，
C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，
bxaab
D．若f（a）≥2，则由条件f（x）≥2，得f（a）≥2，则2≥2，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误， 故选：B
8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，
**
An≠An+1，n∈N，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
x
A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b， |AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d， 由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列，
第6页（共15页）
2
B．{Sn}是等差数列
2
D．{dn}是等差数列
{dn}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn， 由三角形的相似可得
=
=
，
2
==，
两式相加可得，即有hn+hn+2=2hn+1，
==2，
由Sn=d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1， 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn， 则数列{Sn}为等差数列． 故选：A．
二、填空题 9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 23
80 cm，体积是 40 cm．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，
2223
表面积为2×4×4+2×4=64cm，体积为2×4=32cm； 上部为正方体，其棱长为2，
2233
表面积是6×2=24 cm，体积为2=8cm；
22
所以几何体的表面积为64+24﹣2×2=80cm，
3
体积为32+8=40cm． 故答案为：80；40．
第7页（共15页）
10．（6分）（2016•浙江）已知a∈R，方程ax+（a+2）y+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 （﹣2，﹣4） ，半径是 5 ．
222
【解答】解：∵方程ax+（a+2）y+4x+8y+5a=0表示圆， 2
∴a=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．
22
当a=﹣1时，方程化为x+y+4x+8y﹣5=0，
22
配方得（x+2）+（y+4）=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为此时
故答案为：（﹣2，﹣4），5．
11．（6分）（2016•浙江）已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= 1 ．
2
【解答】解：∵2cosx+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+=
（
cos2x+
sin2x）+1
2
22
2
，
，方程不表示圆，
，b=
sin（2x+）+1，
∴A=，b=1， 故答案为：；1．
12．（6分）（2016•浙江）设函数f（x）=x+3x+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）
2
（x﹣a），x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ．
32
【解答】解：∵f（x）=x+3x+1，
3232
∴f（x）﹣f（a）=x+3x+1﹣（a+3a+1） 3232=x+3x﹣（a+3a）
2223222
∵（x﹣b）（x﹣a）=（x﹣b）（x﹣2ax+a）=x﹣（2a+b）x+（a+2ab）x﹣ab，
2
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a），
3
2
∴，解得或（舍去），
故答案为：﹣2；1．
13．（4分）（2016•浙江）设双曲线x﹣
2
=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲
．
线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 【解答】解：如图， 由双曲线x﹣
2
=1，得a=1，b=3，
22
第8页（共15页）
∴．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时， 把x=2代入x﹣
2
=1，得y=±3，即|PF2|=3，
此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由PF1⊥PF2，得又|PF1|﹣|PF2|=2，① 两边平方得：∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得：此时|PF1|+|PF2|=
．
）．
， ，
，
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（
故答案为：（）．
14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是
．
【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC， 在Rt△ACD′中，
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
==
． ．
第9页（共15页）
CO=，CE===，
∴EO=CO﹣CE=．
过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=EF=BO=
=
．
．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ． 则D′F=∴D′B的最小值=
2
+﹣2×=2．
cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值=故答案为：
．
==．
15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，则|
|+|
|的最大值是
|+|
|=
．
，
=1，若为平面单位向量，
【解答】解：|
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和， 当与∴故答案为：
共线时，取得最大值．
=
．
．
第10页（共15页）
三、解答题 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B．
（II）解：cosB=，∴sinB=cosA=cos2B=2cosB﹣1=
2
=
，sinA=
．
=
．
+
×
=
．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N． （Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．
*
【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N． ∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1， 解得a1=1，a2=3，
当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1， 两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an， 即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3， 满足an+1=3an， ∴
=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，
n﹣1
*
则通项公式an=3．
n﹣1
（Ⅱ）an﹣n﹣2=3﹣n﹣2，
n﹣1
设bn=|an﹣n﹣2|=|3﹣n﹣2|，
0
则b1=|3﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，
n﹣1
当n≥3时，3﹣n﹣2＞0，
n﹣1
则bn=|an﹣n﹣2|=3﹣n﹣2， 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+
﹣
=
，
第11页（共15页）
则Tn=
=．
18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示： ∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK； ∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC；
∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴又
； ；
∴在Rt△BFD中，，cos；
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．
第12页（共15页）
19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
2
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，
由抛物线定义得，
，即p=2；
2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y=4x，F（1，0），可设（t，2t），t≠0，t≠±1， ∵AF不垂直y轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0）， 联立y1y2=﹣4， ∴B（
），
，得y﹣4sy﹣4=0．
2
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，
从而得FN：，直线BN：y=﹣，
则N（），
第13页（共15页）
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，
于是m==，得m＜0或m＞2．
经检验，m＜0或m＞2满足题意．
∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
20．（15分）（2016•浙江）设函数f（x）=x+（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x （Ⅱ）＜f（x）≤．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x+
3
2
3
，x∈[0，1]，证明：
，x∈[0，1]，
且1﹣x+x﹣x=
23
=，
所以≤
2
，
3
所以1﹣x+x﹣x≤
2
，
即f（x）≥1﹣x+x；
3
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x≤x， 所以f（x）=x+
3
≤x+=x+
2
﹣+=
+≥，
+≤；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x=且f（）=
+
=
＞，
所以f（x）＞； 综上，＜f（x）≤．
第14页（共15页）
参与本试卷答题和审题的老师有：zhczcb；zlzhan；maths；双曲线；742048；sxs123；gongjy；沂蒙松（排名不分先后） 菁优网
2016年6月17日
第15页（共15页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容