用三线摆法测定物体的转动惯量

三线摆法测量物体的转动惯量 DH 4601转动惯量测试仪

杭 州 实 验 讲 义

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公

限司三线摆法测试物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。 转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法是具有较好物理思想的实验方法，它具有设备简单、直观、测试方便等优点。

【实验目的】

1．学会用三线摆测定物体的转动惯量。 2．学会用累积放大法测量周期运动的周期。 3．验证转动惯量的平行轴定理。

【实验器具】

1． DH 4601转动惯量测试仪 1台 2． 实验机架 1套 3． 圆环 1块 4． 圆柱体 2个

【实验原理】

图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴OO作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴OO的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

rO'HRO图1 三线摆实验装置图 m0gRr2T0 （4-1） 24H0式中各物理量的意义如下：m0为下盘的质量；r、R分

I0别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下盘间的垂直距离；T0为下盘作简谐运动的周期，g为重力加速度（在杭州地区g9.793。 m/s）

2将质量为m的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO轴重合。测出此时摆运动周期T1和上下圆盘间的垂直距离H。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴

OO轴的总转动惯量为：

(m0m)gRr2T1 （4-2） I142H如不计因重量变化而引起悬线伸长， 则有HH0。那么，待测物体绕中心轴的转动惯量

为:

2

gRr22[(mm)TmT] (4-3) 010024H因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴的转动惯量为

，则此物体对新轴OO的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如图2所示）

II1I0IooIcmx2。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱

体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两个小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴OO的转动周期Tx，则可求出每个柱体对中心转轴OO的转动惯量:

(m2m')gRr2 Ix0TxI0 (4-4) 24H如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

C m xO' 122 I'xm'xm'Rx (4-5)

2比较Ix与I'x的大小,可验证平行轴定理.

O 图2平行轴定理 【实验仪器】

三线摆、水准仪、停表、米尺、游标卡尺、物理天平以及待测物体等。

【仪器操作】

1． 打开电源，程序预置周期为T=30（数显），即：小球来回经过光电门的次数为T=2n+1

次。

2． 据具体要求，若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，

再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态，当物体经过光电门的周期次数达到设定值，数显将显示具体时间，单位“秒”。须再执行“50”周期时，无须重设置，只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键，便可以第二次计时。

（当断电再开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤）

【实验内容】

1．用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。 2．用三线摆验证平行轴定理。实验步骤要点如下：

(1) 调整下盘水平：将水准仪置于下盘任意两悬线之间，调整小圆盘上的三个旋扭，改变三悬线的长度，直至下盘水平。

(2) 测量空盘绕中心轴OO转动的运动周期T0：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5以内。用累积放大法测出扭摆运动的周期（用秒表测量累积30至50次的时间，然后求出其运动周期，为什么不直接测量一个周期？）。测量时间时，应在下盘通过平衡位置时开始计数，并默读5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表，这样既有一个计数的准备过程，又不致于少数一个周期。

(3) 测出待测圆环与下盘共同转动的周期T1：将待测圆环置于下盘上，注意使两者中

3

心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期T1。

(4) 测出二小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期T x。

(5) 测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R（等边三角形外接圆半径）

(6) 其它物理量的测量：用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H0和放置两小圆柱体小孔间距2x；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径2R1、2R2和小圆柱体的直径2Rx。

(7) 记录各刚体的质量。

【数据与结果】

1． 实验数据记录

33b H0 a R33下盘质量m0 待测圆环质量m 圆柱体质量m' r注：本实验的上摆悬线孔的半径r=44.0mm，下摆悬线孔的半径R=90.0mm

表4-1：累积法测周期数据记录参考表格 下盘 摆动 50次 所需 时间 单位 （秒） 周 期 1 2 3 4 5 平均 1 2 3 4 5 平均 下盘加圆环 1 2 3 4 5 平均 下盘加两圆柱 T0 S T1 S Tx S 表4-2：有关长度多次测量数据记录参考表 项目 上盘悬孔 间 距 a(cm) 次数 1 2 3 4 5 上盘悬孔间 距b(cm) 待测圆环 外直径内直径2R1(cm) 2R2(cm) 放置小圆柱小圆柱体直 体两小孔间径2Rx(cm) 距2x(cm) 平均

2．待测圆环测量结果的计算，并与理论值计算值比较，求相对误差并进行讨论。已知理想

4

m22(R1R2)。 2m'2R'x}比较，验证平行轴定3．求出圆柱体绕自身轴的转动惯量，并与理论计算值{I理2圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为I理论理。

【思考题】

1．用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？

2．在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？ 3．三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？

4．测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 5．如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？

6．三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？

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【附录】

转动惯量测量式的推导

当下盘扭转振动，其转角很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为：

2 t （4-6）

T0当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h，根据机械能守恒定律有：

12 I0mgh （4-7）

0sin2即 I2mgh2 0而 d202dtTcosTt 200T 0将（4-10）式代入（4-7）式得

ImghT2222 0从图3中的几何关系中可得

(Hh)2R22Rrcos0l2H2(Rr)2

简化得

Hhh22Rr(1cos0) h2略去2，

且取1cos20/2，则有 hRr2002H

代入（4-11）式得

ImgRr242HT （4-12） 即得公式（4-1）

6

（4-8）

（4-9）

（4-10）

（4-11） rlHC'hACA'R图3 公式（1）推导