第5章连续时间信号的抽样与量化
5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
(t)(tnT)
sn
T
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
1
Fs()F()T 2
1
T n s
()
Fn
s
式中F()为原信号f(t)的频谱，T()为单位冲激序列T(t)的频谱。可知抽样后信 号的频谱()
F由F()以s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m，即抽样
m 1 间隔 T
sf
2
，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 m
，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 2 m
1
原信号。因此必须要求满足 T
sf
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：
2t（1）Sa(50t)（2）Sa(100)
2t（3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)
SatSa
解：抽样的最大间隔 Ts12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs2fm称为奈奎
m
s2称为奈奎斯特频率。
m
25 f， m
1 T。 sf
s
50
斯特速率，最低采样频率
（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s，则
50)
50
50
由抽样定理得：最低抽样频率
fs2fm，奈奎斯特间隔
2t
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（2）)
Sa(100)(1
100200
脉宽为400，由此可得rads
m200/，则
100
f，由抽样定理得最低抽样频率 m
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200
fs2fm，奈奎斯特间隔
1 T。 sf
s
200
（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s
(50t)uu 50
Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s
100
50
Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低
m 抽样频率
100
fs2fm，奈奎斯特间隔
1 T。 sf
s
（4）Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100
100
2t
Sa(60)(1)，该信号频谱的m120rad/s
60120
2t
60
f，由抽样定理得最 m
1 T。 sf
s
120 100
所以(100)(60)
SatSa频谱的m120rad/s,则
120
低抽样频率
fs2fm，奈奎斯特间隔
5.3系统如题图5.3所示，f1(t)Sa(1000t)，f2(t)Sa(2000t)，
p(t)(tnT)，f(t)f1(t)f2(t)，fs(t)f(t)p(t)。
n （1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。 （2）当TTmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs()。
f1(tf(t)
)
时域相乘时域抽样
fs(t )
f2(tp(t)
)
题图5.3
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解：
（1）先求f(t)的频谱F(j)。 1
f1(t)Sa(1000t)F1(j)[u(1000)u( 1000
1000)]
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1 2000)]
f2(t)Sa(2000t)F2(j)[u(2000)u( 2000 F(j) 1 2 F(j 1 )F(j 2 )
1 1
1
2
[(u( 1000)u(1000)) 1000 2000
(u( 2000 ) u(
2000 1 6
4 10{(3000)[u(3000)u(1000)]
2000[u(1000)u(1000)](3000)[u(1000)u(3000)]}
由此知F(j)的频谱宽度为6000，且rads
m3000/，则fm1500Hz，抽样
11
的最大允许间隔s
T max
2fm3000
（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
n 入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：
2
p()(n)其中s
2
s
T
T n
则根据频域卷积定理得抽样信号f(t) s的频谱为：
11
Fs()[F()*p()]F(n)
s
2T
n
2
，幅度谱如下图所表而TTmax，则s300026000rad/s
示。
T max
t
5.4对信号f(t)eu(t)
进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的
频谱。
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)
]
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解：由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
F(j)
其幅度频谱和相位频谱分别为
1 1 j
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1
F(j)
1
()arctan
2
单边非因果指数函数的波形f(t)、幅度谱F(j)、相位谱()如下图所示，其中a1。
()
单边指数信号的波形和频谱
显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后 的频谱是将原信号频谱以抽样频率
1
s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的 而得到。图T s
略。
5.5题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的
时域波形如何？以图解法说明。
x(t)
-50050t/ms
题图5.5
解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为 E 幅度为E的三角形脉冲其频谱为
Sa( ) 2
。其波形如图所2 4 示。
X(j)E 2
848
4
0
三角函数的频谱
在x(t)中，100ms0.1s易求得x(t)的频谱为：
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2
X(j)0.05ESa(0.025) 4
在kk40(k)处，X(j)为零，图略。
为整数 由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
1
X (j)Xjn s
T n s 11
其中s
Ts0.05
f20Hz s
s
，s2fs40rad/s。抽样后的频谱是将三角形
频谱以s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
1
，可见发生了频谱混叠现T 象。 s
5.6若连续信号f(t)的频谱F()是带状的(1～2)，利用卷积定理说明当221时，
最低抽样频率只要等于2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。 证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为
1
()
Fs()F()T
2
1 2 [F()* (w n s )2 T n ]
s
1
Fn
T n s
s
s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
1
。由于频T 谱 s
抽样后的频谱是以抽样频率
F()是带状的且221，所以当s2时频谱不会混叠。
5.7如题图5.7所示的系统。求：
（1）求冲激响应函数h(t)与系统函数H(s)；
（2）求系统频率响应函数H()，幅频特性H()和相频特性()，并画出幅频和
相频特性曲线；
（3）激励f(t)u(t)u(tT)，求零状态响应y(t)，画出其波形；
（4）激励fs(t)f(nT)(tnT)，其中T为奈奎斯特抽样间隔，f(nT)为点上
n0
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f(t)的值，求响应y(t)。
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f(t)+
y(t)
-
延迟T题图5.7
解：（1）由图可知ytftftT*ut
Ts 1e
两边求拉氏变换可得YsFs
s
Ts 1e
所以Hs
s
（2）图略
Ts 1e
（3）f(t)的拉氏变换为
Fs
s
Ts
2 1e
零状态响应得拉氏变换为 YsHsFs
2 s
求拉氏反变换可得ytut2tTutTt2Tut2T
Ts 1e
（4）由Hs
可得h(t)ututTs
而ytfthtfnTtnTututT
s**
n0
ss
f nTu
n0
s
tnTu s
t nT s
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奔波在俗世里，不知从何时起，飘来一股清流，逼着每个人优秀。
人过四十，已然不惑。我们听过别人的歌，也唱过自己的曲，但谁也逃不过岁月的审视，逃不过现实的残酷。如若，把心中的杂念抛开，苟且的日子里，其实也能无比诗意。
借一些时光，寻一处宁静，听听花开，看看花落，翻一本爱读的书，悟一段哲人的赠言，原来，日升月落，一切还是那么美。
洗不净的浮沉，留给雨天；悟不透的凡事，交给时间。很多时候，人生的遗憾，不是因为没有实现，而是沉于悲伤，错过了打开心结的时机。
有人说工作忙、应酬多，哪有那么多的闲情逸致啊？记得鲁迅有句话：“时间就像海绵里的水，只要挤总是有的。”
不明花语，却逢花季。一路行走，在渐行渐远的时光中，命运会给你一次次洗牌，但玩牌的始终是你自己。
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坦白的说，我们遇到困扰，经常会放大自己的苦，虐待自己，然后落个遍体鳞伤，可怜兮兮地向世界宣告：自己没救了！可是，那又怎样？因为，大多数人关心的都是自己。
一个人在成年后，最畅快的事，莫过于经过一番努力后，重新认识自己，改变自己。学会了独自、沉默，不轻易诉说。因为，更多的时候，诉说毫无意义。
伤心也好，开心也好，过去了，都是曾经。每个人都要追寻活下去的理由，心怀美好，期待美好，这个世界，就没有那么糟糕。
或许，你也会有这样的情节，两个人坐在一起，杂乱无章的聊天，突然你感到无聊，你渴望安静，你想一个人咀嚼内心的悲与喜。
透过窗格，发着呆，走着神，搜索不到要附和的词。那一刻，你明白了，这世间不缺一起品茗的人，缺的是一个与你同步的灵魂。
没有了期望的懂，还是把故事留给自己吧！每个人都是一座孤岛，颠沛流离，浪迹天涯。有时候，你以为找到了知己，其实，你们根本就是两个世界的人。
花，只有在凋零的时候，才懂得永恒就是在落红中重生；人，只有在落魄的时候，才明白力量就是在破土中崛起？.
因为防备，因为经历，我们学会了掩饰，掩饰自己内心的某些真实，也在真实中，扬起无懈可击的微笑，解决一个又一个的困扰。
人生最容易犯的一个错误，就是把逝去的当作最美的风景。所以，不要活在虚妄的世界，不要对曾经存在假设，不要指望别人太多。
有些情，只可随缘，不可勉强；有些人，只可浅交，不可入深；有些话，只可会意，不可说穿。 或许，有这么一段情，陪你度过漫长冰冷的寒冬；有那样一个人，给你抑郁的天空画上了温暖的春阳。 但时光，总会吹散很多往事，把过去一片片分割，移植到不同区域，并贴上标签，印着不同的定义，也定义着自己的人生态度。
正如庄子所说：“唯至人乃能游于世不避，顺人而不失己。”外在的世界，只是一个形式，而你内在的世界，才是真正的江山。
丰富自己，取悦自己，随缘，随顺，随境，你的心才会敞开，才会接纳更多的有可能。这样的人生，眼睛里的笑意，尽是踏实与真味。
年少时，那些说给蓝天白云的梦想，早已遗忘在风中，再也飞不到岁月的枝头。褪去稚气与懵懂，我更喜欢现在的自己，心里撑着宽阔，却不动声色。
即便，一份静谧的从容是多么的难，但我依旧期待。我相信，人生还会很长，还会一直邂逅，但最美的，必是那个明天的自己。
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