第一章_集合知识点整理

§1．1集合

基础知识点： ⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C„表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c„表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R； 5.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以

构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为

2

*

1, 2

,而不是1, 1, 2



⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流； ⑶非负奇数； ⑷方程x+1=0的解； ⑸徐州艺校校2011级新生； ⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家； ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.

典型例题 例1．用“∈”或“

2

”符号填空：

2 Q；

⑴8 N； ⑵0 N； ⑶-3 Z； ⑷ ⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。 例2．已知集合P的元素为1,m,m2m3, 若2∈P且-1P，求实数m的值。

1

第二课时

基础知识点 一、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“

5y-x，x+y}，„；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

3

2

2

”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，

2

1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合： (1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3) 从51到100的所有整数的集合； (4) 小于10的所有自然数组成的集合； (5) 方程x2x的所有实数根组成的集合；

⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元

素所具有的共同特征。

一般格式：

xAp(x)

2

2

2

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{x|直角三角形}，„；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合

的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意：

1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。 例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合; （2）方程x22

20的所有实数根组成的集合

（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：

2

1.由方程x－2x－3＝0的所有实数根组成的集合；

2.大于2且小于6的有理数；

2

3.已知集合A＝{x|-32 3、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

A 表示任意一个集合A

3,9,27 表示{3，9，27}

二、集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {xR∣0+1=0}

由此可以得到

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

典型例题 【题型一】 元素与集合的关系

1、设集合A＝｛１，2a3｝,B=｛1,a２

｝,且A=B，求实数a的值。

2、已知集合A＝｛a+2，（a+1)２

｝若1∈A,求实数a的值。

【题型二】 元素的特征 1、已知集合M=｛x∈N∣61x∈Z｝,求M

巩固练习： 一选择题：

1.给出下列四个关系式：①

3∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 2.方程组  x y的解组成的集合是3( )

xy1 A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝ 3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝ 4. 已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) A．3∈A B．1∈A

3

C．0∈A D．－1∉A 二填空题：

5．已知集合A＝{1，a}，实数a不能取的值的集合是________．

6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________. 7. 集合M=｛y∈Z∣y=

2

8,x∈Z｝,用列举法表示是M＝ 3x2

。

8. 已知集合A＝｛2a,a-a｝，则a的取值范围是 。 三、解答题：

9．已知集合A＝{x|ax－3x－4＝0，x∈R}． (1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

1.1.2 集合间的基本关系

基础知识点 比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）A{1,2,3}，B{1,2,3,4,5}；

（2）C{北京一中高一一班全体女生}，D{北京一中高一一班全体学生}；

观察可得：

⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集

（subset）。 记作：AB(或B2

A) 读作：A包含于B，或B包含A

B A 表示：AB

⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则

如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

AB。

⒊真子集定义：若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 4.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。 练习：填空：

⑴2 N； {2} N；  A;

⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

A B； A C； {2} C； 2 C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

典型例题

【题型１】集合的子集问题

1.写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

2.已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M。

2

3.已知集合A＝｛x|x-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝，若BA，则实数a的值构成的集合是（ ）

2 4

111｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,｝ D.｛,0｝ 3334.已知集合Ax2x5,Bxm1x2m1且AB，求实数m的取值范围。

A.｛-1,0,

巩固练习 1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;

(5) A={x| (x-1)=0}，B={y|y-3y+2=0};

(6) A={1,3}，B={x|x-3x+2=0};

(7) A={-1,1}，B={x|x-1=0};

2、设A={0，1}，B={-1,0,1,2,3}，问A与B什么关系？

3、已知集合

4、若集合M22

2

2

A{x|ax5}，B{x|x≥2}，且满足AB，求实数a的取值范围。

xx2x60,Nx(x2)(xa)0，且MN,求实数a的值.



1.1.3 集合间的基本运算

基础知识点 考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系： （1）A{1,3,5}，B{2,4,6},（2）

C1,2,3,4,5,6；

A{xx是有理数}，B{xx是无理数},Cxx是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分， 记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 Venn图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A A∪B＝A , A∪B＝B . 巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ;

②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。

5

2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set）， 记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：

常见的五种交集的情况：

B A A(B)

集合没有交集

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？

A∩A＝ A∩＝ A∩B B∩A

A∩B＝A  A∩B＝B 巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝ ;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。 3.一些特殊结论 ⑴若A（阴影部分即为A与B的交集）

A B A B A B 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

B,则A∩B=A； ⑵若BA,则AB=A；

⑶若A，B两集合中，B=，,则A∩=, A

典型例题

【题型一】 并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。 解：在数轴上作出A、B对应部分如图 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-22

=A。

-1 1 2 3 -2 2

3 【例3】已知集合A＝｛y|y=x-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B

【题型二】 并集、交集的应用

例：.已知｛3,4，m-3m-1｝∩{2m，-3}=｛-3｝,则m＝ 。 巩固练习 1、 设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝ 。

2、设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则A∪B＝ 。 3、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝ 。 4、已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于 。

5、设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝ 。 6、若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实数x=_____________ 7、满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是 。

8.已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的取值范围是 。

6

2

2

集合的基本运算㈡

基础知识点 思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：CUA，读作：A在U中的补集，即CUAxxU,且xA

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

UA 说明：补集的概念必须要有全集的限制

讨论：集合A与CUA之间有什么关系？→借助Venn图分析

CUAACUA,CUU,ACUAU,CUU

CU(CUA)A

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则CUA= ，CUB= ；

②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则CUA＝ ； ③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则CUA＝ 。 典型例题

【题型1】求补集 【例1】．设全集Uxx是小于9的正整数,A1，2，3，B3，4，5，6，

求CUA，CUB． 【例2】设全集U

xx4,集合Ax2x3,Bx3x3，求CUA，

AB，AB,CU(AB),(CUA)(CUB),(CUA)(CUB),CU(AB)。 （结论：CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)）

【例3】设全集U为R，A (CUA)B

【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤3｝,A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x-2x-3=0｝,求CUA，并且判断CUA和集合B的关系。

2

xx2px120,Bxx25xq0，若

（答案：2,3,4） 2,A(CUB)4，求AB。

巩固练习 1.若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA=__________________； 2.若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB=__________________-； 3.若S={1，2，4，8}，A=ø，则CSA=___________；

4.若U={1，3，a+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a= ；

2

7

5.已知全集U=R,集合A={x|06.已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合为__________________ 提高内容：

7.A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B.

8.已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分)

1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误！未指定书签。 ①、3③、3

A且3A且3

B；②、3B；④、3

A且3A且3

B； B。

，则k的取值范围是

R｝，且(CIA)∩B＝

，则实数k的取值范围

2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠3、已知全集I=｛x｜x是 4、已知全集UR｝，集合A=｛x｜x≤1或x≥3｝，集合B=｛x｜k＜x＜k＋1，kZ，A{1,0,1,2},B{x|x2x}，则ACUB为

ba5、设a，bR，集合1，ab，a0，，b，则ba

、

、

6、设集合M={x|xk1,kZ},N{x|xk1,kZ}，则M N。(选填

24427、设集合

MN) 、、＝、、MNxAx4x19,xR, B0,xR, 则A∩B= xx38、设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x21，那么PQ等于 9、已知集合Ax|xa≤1，Bxx25x4≥0．若AB，则实数a的取值范围是

8

10、设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：A1A=Ab，其中k为I+j被4除的余数，I，j=0，1，2，3.满足关系式=(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为 11、集合Ax,y|y|x2|,x0,Bx,y|yxb,AB，b的取值范围是 . 的个数是 x3且xN}的真子集．．．

12、定义集合运算：AB13、设集合A{x0zzxy,xA,yB.设A1,2,B0,2,则集合AB 的所有元素之和为 14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为

人。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 15、(13分)已知全集U=

16、(14分)若集合S=3,a2，T

17、(16分)已知集合A=

26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____

2,3,a22a3，若A=b,2，CUA5，求实数的a，b值。

x|0xa3,xZ且S∩T=1，P=S∪T，求集合P的所有子集

x3x7，B={x|2(1) 求A∪B，(CRA)∩B； (2) 如果A∩C≠

18、(18分)已知集合(1)若a，求a的取值范围。

A的元素全为实数，且满足：若aA，则

1aA。 1a3，求出A中其它所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aA，再求出A中的所有元素？

(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论

19、(14分)集合A满足

x|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80

AB,，AC,求实数a的值。

9

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅱ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、集合{a，b，c }的真子集共有 个 2、以下六个关系式：0个数是 3、若

0，0，0.3Q, 0N, a,bb,a ，x|x220,xZ 是空集中，错误的

A{2,2,3,4}，B{x|xt2,tA}，用列举法表示B

2

4、集合A={x| x+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若BA，则a=__________ 5、设全集U=

2,3,a22a3，A=2,b，CA=5，则a= ，b= 。

U6、集合

Ax|x3或x3，Bx|x1或x4，AB____________.

27、已知集合A={x|xxm0}, 若A∩R=，则实数m的取值范围是

8、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，

则这两种实验都做对的有 人.

9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.

10、设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|

2

y2=3}，则CUA= . x12

11、集合M=｛y∣y= x +1，x∈ R｝，N=｛y∣ y=5- x，x∈ R｝，则M∪N= ． 12、集合M={a|

6∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=｛ ｝ 5a13、已知集合14、已知集合

A{x|ax23x20}至多有一个元素，则a的取值范围 ；若至少有一个元素，则a的取值范围 。

A{x|ax23x20}至多有一个元

素，若至少有一个元素，则a的取值范围 。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 15、(15分)已知集合A=

xax23x20,aR.

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。

16、(13分)已知全集U=R，集合A=

xx2px20,Bxx25xq0,

若CUAB2，试用列举法表示集合A。

10

17、(14分)设围。

18、(16分)已知集合A{x|(1)若AB

19、(14分)已知集合A{x|2B={x|2A{xx24x0},B{xx22(a1)xa210}，其中xR，如果ABB，求实数a的取值范

x23x20}，B{x|x22(a1)x(a25)0}，

{2}，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围；

(AB)CR，求b、c的值。

11