高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳和测试卷

第十二讲 解三角形

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

3、三角形中的基本关系：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

sinABCABCABCcos,cossin,tancot 222222abc2R． sinsinsinC4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC； 2R2R2Rabcabc③a:b:csin:sin:sinC；④． sinsinsinCsinsinsinC②化边为角：sinb2c2a27、余弦定理：在C中，有abc2bccos等，变形： cos等，

2bc2228、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式：SC111bcsinabsinCacsin． 22210、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90． 11、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

22222222212．坡角和坡比

坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．

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坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．

1. △ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于 （ ）

6631A 3 B 2 C 2 D 2

abc2. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是 （ ）

A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形

abc3.△ABC中，若A60，a3，则sinAsinBsinC等于 （ ）

13A 2 B 2 C 3 D 2

4. △ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（ ）

A

113 B C D 0 3245.在钝角△ABC中，已知a1，b2，则最大边c的取值范围是 。

一、利用正弦、余弦定理解三角形

【例1－1】(2012辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

(1)求cos B的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．

sin A＋sin B【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，tan C＝，sin(B－A)＝cos C.

cos A＋cos B(1)求A，C；

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.

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二、三角形形状的判定

【例2－1】△ABC满足sin B＝cos Asin C，则△ABC的形状是( )． A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【例2－2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

三、与三角形面积有关的问题

π

【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )．

11

A．－ B． C．－1 D．1

22

2．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且acos B＝bcos A，则△ABC的形状为____． 3．(2014福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝___． π

4．(2016陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝

623，则b＝______.

5．(2015山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.

(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

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(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

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1.(2014湖北理)已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

'(Ⅱ)设bn

3m,Tn数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数m；

anan1202．（2015湖北文）设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1b1,b2(a2a1)b1. （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn 3. 已知设

an，求数列{cn}的前n项和Tn. bnSn是数列{

an}的前n项和，并且a1=1，对任意正整数n，

）.

Sn14an2；

bnan12an(n1,2,3, （I）证明数列

{bn}是等比数列，并求

{bn}的通项公式；

Cn （II）设

bn1,Tn为数列{}3log2Cn1log2Cn2的前n项和，求

Tn.

*4.（2015山东文）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN)

（I）证明数列an1是等比数列；

2（II）令f(x)a1xa2xanxn，求函数f(x)在点x1处的导数f(1)

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第二章 解三角形测试卷 （时间：120分钟 总分：150分）

选择题答案(5´×10=50´) 题号 答案 1. △ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于 （ ）

6631A 3 B 2 C 2 D 2

abc2. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是 （ ）

A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形

3.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )

A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定

S4. △ABC中，b8，c83，

ABC163，则A等于 （ ）

A 30 B 60 C 30或150 D 60或120

abc5.△ABC中，若A60，a3，则sinAsinBsinC等于 （ ）

13A 2 B 2 C 3 D 2

6. △ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（ ）

A

113 B C D 0 3247.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）

A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定

8. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）

A.

4003400米 B. 米 C. 2003米 D. 200米

339. 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )

A.10 海里 B.5海里 C. 56 海里 D.53 海里

10.如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<

β),则A点离地面的高度AB等于 （ ）

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B

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A．

asinsin

sin()B．

asinsin

cos()

asincosacossinC． D．

sin()cos()二、填空题：(5´× 5=25´ )

 D C 

11.在钝角△ABC中，已知a1，b2，则最大边c的取值范围是 。 12.在△ABC中，已知b503，c150，B30，则边长a 。 13.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。

7, 则ΔABC是____________ 三角形。 123115.在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_____________ .

3214.A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=

填空题答案：11：____________ 12：____________ 13：____________ 14：____________ 15：____________ 三、解答题（共75´）

cosAb4cosBa3，求边a、b 的长。 16.（本题12分）在△ABC中，已知边c=10, 又知

17.（本题12分）在△ABC中，已知2abc，sinAsinBsinC，试判断△ABC的形状。

18.（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

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2

2 WORD格式.可编辑

19.（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

20.（本题13分）已知A,B,C是三角形ABC三内角，向m1,3,ncosA,sinA，且mn1.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若

21.（本题14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风

北东1sin2B3，求tanC. 22cosBsinBOθ东中心位

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西45°P WORD格式.可编辑

于城市O（如图）的东偏南(cos2)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°10方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问（1）几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（2）受到台风的侵袭的时间有多少小时？

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