浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)

一、选择题（本大题有10个小题共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ A．y3x2B．y

）

21x

C．yx2xD．yx122．已知△ABC∽△A1B1C1，且A60，B140，则C1的度数为（ A．40°

B．60°

C．80°

D．10°

）

）

3．如图，在Rt△ABC中，C90，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（ A．

34B．

45C．74D．

354．已知二次函数yx2x4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ A．图象的开口向上C．图象的顶点坐标是1,3B．当x1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点

2）

5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（ A．4

B．5

C．6

D．7

）米．

第5题

与AD的长度6．如图，AB是半圆O的直径，C是OB的中点，过点C作CDAB，交半圆于点D，则BD的比为（

）

第6题A．1：2

B．1：3

C．1：4）

D．1：5

7．如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（

第7题A．

12B．

13C．

15D

16）

8．如图，在O中，AB是直径，弦AC＝5，BACD．则AB的长为（

第8题A．5

B．10

2C．52D．1029．已知抛物线yax2h经过点Ax1,y1，Bx2,y2，且x12x22，则下列不等式一定成立的是（

）

B．y1y20C．ay1y20D．ay1y20A．y1y2010．如图，在O中，直径AB＝10，弦BC＝6，点D在BC的延长线上，线段AD交O于点E，过点E作EF//BC分别交O，AB于点F，G．若D45，则EG：FG的值为（　　）

第10题A．

725B．

25C．

14D．25二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．抛物线yax经过点3,5，则a______．

212．己知a＝3，b＝12，则a，b的比例中项为_____．13．如图，△ABC中，DE//BC，

AD1．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为_____．AB2第13题

14．二次函数yax2axc(a0）的图象过点3,0，则方程ax2axc0的解为_____．

2215．如图，在△ABC中，ADBC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，G为边BC上一点，

EGBFDC，连结EF．若tanB4，tanC2，BC＝14，则GD的长为_____．5第15题

16．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点Р沿折线BE-ED-DC

运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1m/s．设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则cosABE_____﹔当t＝_____时，△ABE∽△QBP．

2第16题

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）

17．（6分）计算：2sin60cos45tan60．

18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n摸到白球的次数m

10058a

150960.64

200b0.59

5002950.59

8004800.60

10006010.601

m摸到白球的频率

n（1）上表中的a＝______，b＝______；

（2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；

（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．

19．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AEDC，AE＝5，AC＝9，DE＝6．

（1）求证：△ABC∽△ADE．（2）求BC的长．

20．（8分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角FAB，点C处的俯角FAC37，线段AD的长为无人机距地面的

高度，点D、B、C在同一条水平直线上，tan3，BD＝5米．（1）求无人机的飞行高度AD．（2）求河流的宽度BC．

（参考数据：sin370.60，cossin370.80，tan370.75）

21．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．

（1）在图1中以线段AB为边画一个△ABD，使其与△ABC相似，但不全等．（2）在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为8．

图1图2

22．（10分）如图，△ABC内接于O，AD平分BAC交O于点D，过点D作DE//BC交AC的延长线于点E．

（1）求证：ODDE：

（2）若E60，O的半径为5，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求AD的长．

23．（10分）在平面直角坐标系内，二次函数yxaa1 （a为常数）．

2（1）若函数y1的图象经过点1,0，求函数y1的表达式．

（2）若y1的图象与一次函数y2x1的图象有两个交点，横坐标分别为1，2，请直接写出当y1y2时x的取值范围．

（3）已知x1,n在函数y1的图象上，当x02a0时，求证：n24．（12分）[基础巩固]

（1）如图1，正方形ABCD和正方形BHGF，其中D，G，F三点共线，延长BG交CD于E，连结AH．①求证：△EDG∽△EBD；②不难证明：△BHA∽△BGD，因此【尝试应用】

（2）在（1）的条件下，如图1，若CE＝1，DE＝3，求正方形BHGF的边长；【拓展提高】

（3）如图2，正方形ABCD和正方形BHGF，P是AB中点，连结CP，F恰在CP上，连结DG，AG，若

5．4DG的值为_______；AHAB4，求AG的最小值．

图1 图2

2023学年第一学期期中测试初三数学答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1C

2C

3D

4B

5A

6A

7D

8C

9D

10A

二、填空题（每小题4分，共24分）

11

12

1312

14

153

16

596x13，x2145294说明：第16题每空2分

三、解答题（本题有8小题，共66分）

17．（6分）计算：2sin60cos45tan60．

2322322218．（1）上表中的a＝0.58，b＝118；

（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）150.61510（个），

答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．19．（6分）（1）证明：∵AEDC，AA，∴△ABC∽△ADE．

（2）∵△ABC∽△ADE∴

BCACBC954，∴BC，∴．DEAE65520．（8分）

（1）由题意得：AF//C，

∴FABABD．FACACD37．在Rt△ARD中．tanABD∵tan3，BD25米，

∴AD-BDtana-25375（米），答：无人机的飞行高度AD为75米（2）在Rt△ACD中，tan4CDAD，BDAD，CD∴CDAD7575100（米），

tanACDtan370.75∴BCCDBD1002575（米），答：河流的宽度BC为75米．21．（8分）下图每小题各4分

21．（10分）

（1）证明：∵BC为O的直径，∴BAC90，

∵AD平分BAC，

∴BOD2BAD90，∵DE//BC，∴ODE90，∴ODDE；（2）解：∵DE//BC，

∴ACBE60，∴B30，∵BC10，∴AC1AB52ABBC2AC253；

（3）连CD，作CFAD于F

易得145，2B30 ∴AFCF252AC2256252562∴FD3CF∴ADAFFD说明：AD的长也可通过旋转求得（如下图）

23．（10分）（1）解：∵函数y的图象经过点1,0，∴1aa10，解得：a0或1，

2∴函数y1的表达式为y1x21或y1x22x1；（2）解：根据题意作出草图如下，

由函数图象可知，当y1y2时x的取值范围是：x1或x2； （3）证明：∵x02a，∴

0x0a-2∵抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口方向向上，∴x0和x2a时的函数值相同，

∴由图象可知当x0时的函数值小于当xx0时的函数值，即：naa1，∵aa1(a)221225，4∴aa125，4∴n5．424．（12分）

（1）①∵12245，BDE45，∴1BDE∵33∵△EDG∽△EBD②不难证明：△BHA∽△BGD，因此

DG的值为2；AH（2）易得：BE17∵△EDG∽△EBD∴DEEG·EB∴EG2991717178172434，∴BHBG17217∴BG（3）连BG，延长DG交AB于Q，作QKBD于K易证△DGB∽△EFB，则tan1tan212∴3452为定值

点G是射线DG上的动点，当AGDG时，AG最小．设QKBKx，则DK2x∵BDBKDK3x42∴OKBKx23∴BQ2BK83∴AQ4410，∴DQ33∵AQ·ADDQ·AG∴AG21052105∴AG最小值为

说明证明12或建模、建系均可求得AG的最小值