山东省乳山市
2006—2007学年度高三年级第一学期期中考试
数学(理)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。 1.设集合M{x|xm0},N{y|y2x,xR},若MN,则实数m的取
值范围是 A.m0
23121213
B.m >0
15
C.m ≤0
D.m < 0 D.9a2
( )
12.化简(ab)(3ab)(a6b6)的结果
3
A.6a
B.-a
C.-9a
( )
3.给定条件p:|x1|2,条件q:
A.充分而不必要条件 C.充要条件
11,则p是﹁ q的 3x( )
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数yf(x)(xR)满足f (x+3) = f (x +1),且x[1,1]时,f (x) = |x|,则y = f (x)
与ylog4x的图象交点的个数是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.做一个面积为1m2,形状为直角三角形的铁架框,用下列四种长度的铁管,最合理(够用,
且浪费最少)的是 ( )
1
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A.3.5m
B.4.8m
C.5m
D.5.2m
D.(0,1)
( )
6.设x0是方程lnxx5的解,则x0在下列哪个区间内
A.(3,4)
B.(2,3)
C.(1,2)
7.已知a,b是任意两个向量,下列条件:①ab; ②|a||b|; ③a与b的方向相反;
④a0或b0; ⑤a与b都是单位向量;其中为向量a与b共线的充分不必要条件的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
( )
8.在R上定义运算:aba(1b).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立,
则
A.1a1
B.0a2
C.
( )
13a 22D.31a 22( )
9.已知定义域为(,0)(0,)的函数f (x)是偶函数,并且在(,0)上是增函数,若f (3)=0,
则
f(x)0的解集是 x
A.(3,0)(0,3) C.(,3)(3,)
B.(,3)(0,3) D.(3,0)(3,)
10.等比数列{an}中,已知a1a2a34,a2a3a42,则a3a4a5a6a7a8等于( )
A.
21 16B.
19 16C.
9 8D.
7 811.已知|a|2,|b|1,a与b的夹角为60°,又cma3b,d2amb,且cd,则m
的值为 A.0
B.2或3
C.1或-6
D.6或-1
( )
12.设集合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边
界的阴影部分)是
2
( )
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第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。 13.1(x21)dx . 2x314.已知函数f(x)在0,1上是增函数,且f(1x)f(1x),则f(1)、f()、f(7)的大小
44顺序是 (按从小到大的顺序). 15.函数f(x)log33x的单调减区间是 x2216.给出下列四个命题: ①若|a|2,则有a4;
②函数ysinx在第一象限为增函数;
an11③对实数aR,总有1aaa;
a12n④f(0)0是函数yf(x)为奇函数(xD,DR)的必要不充分条件;
其中不正确命题的序号是 (把你认为不正确的都写上).
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)
2sin(x已知向量a(sin2x,1),向量b(2cosx)4,1),函数f(x)(ab1),
(1)求函数f (x)的单调递减区间;x[3,],(0) 84 (2)当2时,写出由函数ysin2x的图象变换到与yf(x)的图象重叠的变换过程。
3
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18.(本小题满分12分)
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)x0有实数根;
②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.” (Ⅰ)判断函数f(x)xsinx是否是集合M中的元素,并说明理由; 24 (Ⅱ)令g(x)f(x)x判断g(x)的单调性(f(x)M) (Ⅲ)设x1x2,证明0f(x2)f(x1)x2x1
19.(本小题满分12分)
(1)现有一个破损的圆块(如左下图),只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器,请
你设计一种方案,求出这个圆块的直径的长度。
(2)如右上图,已知△ABC三个角,A,B,C满足sinBsinCsinAsinBsinC,AD是△ABC外接圆直径,CD = 2,BD = 3,求∠CAB和AD的长。 解:(1)①作破损的圆块内接三角形ABC;②
4
222 阳光家教网 http://sy.ygjj.com 家教学习资料 更多家教学习资料下载
20.(本小题满分12分)
已知f(x)为一次函数,且有f(i)7,f(i)75,(aim表示a1a2anm).
i1i1i1715n (1)求f(n)(nN*) (2)若bn2f(n)n,求bi.
i1n 21.(本小题满分12分)
exax是R上的偶函数 设f(x)ae (1)求a的值
(2)判断f (x)的单调性
(3)若a0,当x[ln2,ln2],不等式f(x)m0解集为空集,求实数m的取值范围.
5
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22.(本小题满分14分) 设函数f(x)|x22x8|.
(1)在区间[-3,5]上画出函数f (x)的图象;
(2)设集合A{x|f(x)5},B(,3][1,3]5,.写出集合A和B之间的关系(相等或子集或真子集);
(3)当k>2时,求证:在区间[-2,4]上,函数f (x)图象位于函数y= kx+4k的图象的下方.
6
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参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 C 8 C 9 B 10 D 11 D 12 A 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
7313.827 14.f()f()f(1) 15.(-2,3) 16.②③④
446三、解答题:本大题共6小题,共74分。
2sin(x17.解:f(x)(ab1)sin2x f(x) (1)2cosx)4 „„„„„„„„„„„„„„2分
2sin(2x), „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5分 2423x482x44 „„„„„„„„„„„„„„„„6分
当λ>0时,由2x的单调递减区间为[42得单调减区间为[3,],同理,当λ<0时,函数88,],周期为π„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
84 注:单调区间写成开区间,半开区间均给全分。 (2)当λ=2时,f(x) 将ysin2x的图象右移
2sin(2x4)1,x[3,] 84个单位可得ysin(2x)的图象,再将图象上每个点的纵
48坐标扩大到原来的2倍,而横坐标保持不变,可得f(x)2sin(2x)的图象,再
47
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将所得图象上移一个单位,可得f(x)2sin(2x)1的图象。„„„„„„ 12分
418.解:(Ⅰ)因为f(x)11cosx,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 24 所以f(x)[,]满足条件0f(x)1,„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分 又因为当x = 0时,f (0) = 0,所以方程f (x)-x = 0有实数根0. 所以函数f(x)1344xsinx是集合M中的元素。„„„„„„„„„„„„„„„„6分 24 (Ⅱ)g(x)f(x)10,故g(x)为单调减函数 „„„„„„„„„„„„„„8分 (Ⅲ)因为f(x)0,所以f(x)为增函数,又因为x1x2所以f(x1)f(x2), 所以f(x2)f(x1)0„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 又因为g(x)为单调减函数,所以g(x1)g(x2)0
即f(x1)x1f(x2)x20,即f(x2)f(x1)x2x1
所以0f(x2)f(x1)x2x1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12分 19.解①作破损的圆块内接三角形ABC;
②用直尺量出三边的长a,b,c,用余弦定理求出角A; ③由正弦定理可求出直径:2Ra. sinA 方案二
①作破损的圆块的三角形ABC;
②用直尺量出边长a,用量角器量角A;
③由正弦定理可求出直径:2R222a.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 sinA (2)由正弦定理得:bcabc „„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
b2c2a2bc1 由余弦定理cosCAB2bc2bc20CAB180,CAB60,CDB120,„„„„„„„„„„„ 9分
8
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在△ADB中,CB 2 = 2 2 + 3 2 -2×2×3×cos120°= 19
CB9,ADBC19257 „„„„„„„„„„„„„ „„12分
sinCAB33220.解法一:f(x)为一次函数∴可设f (n) = an + b (a≠0) 由题意知
78a7b74ab12 „„„„3分,即,解得a =1,b =-3 „„„„„„5分
8ab5a151615b752 ∴f (n) = n-3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分
解法二:(1)f(x)为一次函数∴可设f (n) = an + b (a≠0)故f (n)为等差数列,且公差不为0,设首项为a1,公差为d,前n项和为Sn „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1分 则有 S7 = 17, S15 = 75,
7a121d7,15a1105d75,a13d1, „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 即a17d5,解得 a1 =-2,d = 1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴数列{an}的通项公式为an = n-3,即f (n) = n-3 „„„„„„„„„„„„„„„ 6分 (2)bn2nf(n)n2n3n1n2n „„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 8bib1b2b3bn
i11111(211)(222)(233)(2nn) 88881(2122232n)(123n) „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 81n(n1)(2n12) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 8221.解:(1)由f (x)为偶函数知f(x)f(x),
exaexax即对一切x恒成立 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2分 aaexea
1,解得a1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 a9
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(2)若a =-1,则有f(x)exex,f(x)exex
在0,为减函数,在,0为增函数
故f (x)为增函数 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 若a = 1,则有f(x)exex,f(x)exex
当x0时,ex1,0ex1,f(x)0(只有x0,f(x)0) 当x0时,0ex1,ex1,f(x)0
故f(x)在0,上为增函数,在(-∞,0)上为减函数 „„„„„„„„„„„„8分 (3)若a > 0由(1)知a = 1,则有f(x)exex,因为f (x)是偶函数及
f(x)在0,上为增函数,x[ln2,ln2],故f(x)[f(0),f(ln2)]
即f(x)[2,] „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
不等式f(x)m0解集为空集,即f(x)m恒成立,只要m故实数m的取值范围为m525即可, 25 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12分 222.解:
(1)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 (2)方程f (x) = 5的解分别是114,1,3和114,由于f(x)在,2和[1,4]上单
调递减,在[-2,1]和4,上单调递增,因此
A,114[1,3]114,.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
10
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由于1145,1143,∴ „„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 (3)解法一:当x[2,4]时,f(x)x22x8. g(x)k(x4)(x22x8)
22kk20k36, x(k2)x(4k8)x2422 k2, ①当2 g(x)min2k0. 又2x6, „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 22k2k0,即2k6时,取x, 22k220k361[(k10)264].
44 16(k10)264,(k10)2640,
则g(x)min0. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 ②当
2k2,即k6时,取x2,g(x)min2k0. 2 由①、②可知,当k > 2时,g (x)>0,x∈[-2,4].因此,在区间[-2,4]上,函数f (x)图象
位于yk(x4)的图象的下方.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 解法二:当x[2,4]时,f(x)x22x8. 由yk(x4),2yx2x8,2得x2(k2)x(4k8)0,
解得k2或k18 „„„„„„„„„„„ 10分
令(k2)4(4k8)0,在区间[-2,4]上,当k = 2时,y = 2 (x + 4)的图象与函数f (x)的图象只交于一点(0,8)(切点):当k = 18时,y = 18 (x + 4)的图象与函数f (x)的图象没有交点,如图可知,由于直线 y = k (x + 4)过点(-4,0),当k > 2时,直线y = k (x + 4)是由直线y = 2 (x +4)绕点(-4,0)逆时针方向旋转得到,因此,在区间[-2,4]上,函数f (x)图象位于y = k (x + 4)的图象的下方. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
11
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