山东省乳山市

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2006—2007学年度高三年级第一学期期中考试

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．设集合M{x|xm0},N{y|y2x,xR}，若MN，则实数m的取

值范围是 A．m0

23121213

B．m >0

15

C．m ≤0

D．m < 0 D．9a2

（ ）

12．化简(ab)(3ab)(a6b6)的结果

3

A．6a

B．－a

C．－9a

（ ）

3．给定条件p：|x1|2,条件q:

A．充分而不必要条件 C．充要条件

11，则p是﹁ q的 3x（ ）

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知函数yf(x)(xR)满足f (x+3) = f (x +1)，且x[1,1]时，f (x) = |x|，则y = f (x)

与ylog4x的图象交点的个数是

（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理（够用，

且浪费最少）的是 （ ）

1

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A．3.5m

B．4.8m

C．5m

D．5.2m

D．（0，1）

（ ）

6．设x0是方程lnxx5的解，则x0在下列哪个区间内

A．（3，4）

B．（2，3）

C．（1，2）

7．已知a,b是任意两个向量，下列条件：①ab； ②|a||b|； ③a与b的方向相反；

④a0或b0； ⑤a与b都是单位向量；其中为向量a与b共线的充分不必要条件的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

（ ）

8．在R上定义运算：aba(1b).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，

则

A．1a1

B．0a2

C．

（ ）

13a 22D．31a 22（ ）

9．已知定义域为(,0)(0,)的函数f (x)是偶函数，并且在(,0)上是增函数，若f (3)=0，

则

f(x)0的解集是 x

A．(3,0)(0,3) C．(,3)(3,)

B．(,3)(0,3) D．(3,0)(3,)

10．等比数列{an}中，已知a1a2a34,a2a3a42,则a3a4a5a6a7a8等于（ ）

A．

21 16B．

19 16C．

9 8D．

7 811．已知|a|2,|b|1,a与b的夹角为60°，又cma3b,d2amb,且cd，则m

的值为 A．0

B．2或3

C．1或－6

D．6或－1

（ ）

12．设集合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边

界的阴影部分）是

2

（ ）

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第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13．1(x21)dx . 2x314．已知函数f(x)在0,1上是增函数，且f(1x)f(1x),则f(1)、f()、f(7)的大小

44顺序是 （按从小到大的顺序）. 15．函数f(x)log33x的单调减区间是 x2216．给出下列四个命题： ①若|a|2,则有a4；

②函数ysinx在第一象限为增函数；

an11③对实数aR，总有1aaa；

a12n④f(0)0是函数yf(x)为奇函数(xD,DR)的必要不充分条件；

其中不正确命题的序号是 （把你认为不正确的都写上）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

2sin(x已知向量a(sin2x,1),向量b(2cosx)4,1),函数f(x)(ab1)，

（1）求函数f (x)的单调递减区间；x[3,],(0) 84 （2）当2时，写出由函数ysin2x的图象变换到与yf(x)的图象重叠的变换过程。

3

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18．（本小题满分12分）

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)x0有实数根；

②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.” （Ⅰ）判断函数f(x)xsinx是否是集合M中的元素，并说明理由； 24 （Ⅱ）令g(x)f(x)x判断g(x)的单调性(f(x)M) （Ⅲ）设x1x2,证明0f(x2)f(x1)x2x1

19．（本小题满分12分）

（1）现有一个破损的圆块（如左下图），只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请

你设计一种方案，求出这个圆块的直径的长度。

（2）如右上图，已知△ABC三个角，A，B，C满足sinBsinCsinAsinBsinC，AD是△ABC外接圆直径，CD = 2，BD = 3，求∠CAB和AD的长。 解：（1）①作破损的圆块内接三角形ABC；②

4

222 阳光家教网 http://sy.ygjj.com 家教学习资料 更多家教学习资料下载

20．（本小题满分12分）

已知f(x)为一次函数，且有f(i)7,f(i)75,(aim表示a1a2anm).

i1i1i1715n （1）求f(n)(nN*) （2）若bn2f(n)n,求bi.

i1n 21．（本小题满分12分）

exax是R上的偶函数 设f(x)ae （1）求a的值

（2）判断f (x)的单调性

（3）若a0,当x[ln2,ln2]，不等式f(x)m0解集为空集，求实数m的取值范围.

5

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22．（本小题满分14分） 设函数f(x)|x22x8|.

（1）在区间[－3，5]上画出函数f (x)的图象；

（2）设集合A{x|f(x)5},B(,3][1,3]5,.写出集合A和B之间的关系（相等或子集或真子集）；

（3）当k>2时，求证：在区间[－2，4]上，函数f (x)图象位于函数y= kx+4k的图象的下方.

6

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参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 C 8 C 9 B 10 D 11 D 12 A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

7313．827 14．f()f()f(1) 15．（－2，3） 16．②③④

446三、解答题：本大题共6小题，共74分。

2sin(x17．解：f(x)(ab1)sin2x f(x) （1）2cosx)4 „„„„„„„„„„„„„„2分

2sin(2x), „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5分 2423x482x44 „„„„„„„„„„„„„„„„6分

当λ>0时，由2x的单调递减区间为[42得单调减区间为[3,]，同理，当λ<0时，函数88,]，周期为π„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

84 注：单调区间写成开区间，半开区间均给全分。 （2）当λ=2时，f(x) 将ysin2x的图象右移

2sin(2x4)1,x[3,] 84个单位可得ysin(2x)的图象，再将图象上每个点的纵

48坐标扩大到原来的2倍，而横坐标保持不变，可得f(x)2sin(2x)的图象，再

47

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将所得图象上移一个单位，可得f(x)2sin(2x)1的图象。„„„„„„ 12分

418．解：（Ⅰ）因为f(x)11cosx，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 24 所以f(x)[,]满足条件0f(x)1，„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分 又因为当x = 0时，f (0) = 0，所以方程f (x)－x = 0有实数根0. 所以函数f(x)1344xsinx是集合M中的元素。„„„„„„„„„„„„„„„„6分 24 （Ⅱ）g(x)f(x)10,故g(x)为单调减函数 „„„„„„„„„„„„„„8分 （Ⅲ）因为f(x)0,所以f(x)为增函数，又因为x1x2所以f(x1)f(x2), 所以f(x2)f(x1)0„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 又因为g(x)为单调减函数，所以g(x1)g(x2)0

即f(x1)x1f(x2)x20,即f(x2)f(x1)x2x1

所以0f(x2)f(x1)x2x1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12分 19．解①作破损的圆块内接三角形ABC；

②用直尺量出三边的长a，b，c，用余弦定理求出角A； ③由正弦定理可求出直径：2Ra. sinA 方案二

①作破损的圆块的三角形ABC；

②用直尺量出边长a，用量角器量角A；

③由正弦定理可求出直径：2R222a.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 sinA （2）由正弦定理得：bcabc „„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

b2c2a2bc1 由余弦定理cosCAB2bc2bc20CAB180,CAB60,CDB120，„„„„„„„„„„„ 9分

8

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在△ADB中，CB 2 = 2 2 + 3 2 －2×2×3×cos120°= 19

CB9,ADBC19257 „„„„„„„„„„„„„ „„12分

sinCAB33220．解法一：f(x)为一次函数∴可设f (n) = an + b (a≠0) 由题意知

78a7b74ab12  „„„„3分，即，解得a =1,b =－3 „„„„„„5分

8ab5a151615b752 ∴f (n) = n－3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分

解法二：（1）f(x)为一次函数∴可设f (n) = an + b (a≠0)故f (n)为等差数列，且公差不为0，设首项为a1，公差为d，前n项和为Sn „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1分 则有 S7 = 17， S15 = 75，

7a121d7,15a1105d75,a13d1, „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 即a17d5,解得 a1 =－2，d = 1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴数列{an}的通项公式为an = n－3，即f (n) = n－3 „„„„„„„„„„„„„„„ 6分 （2）bn2nf(n)n2n3n1n2n „„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 8bib1b2b3bn

i11111(211)(222)(233)(2nn) 88881(2122232n)(123n) „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 81n(n1)(2n12) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 8221．解：（1）由f (x)为偶函数知f(x)f(x)，

exaexax即对一切x恒成立 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2分 aaexea

1,解得a1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 a9

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（2）若a =－1，则有f(x)exex,f(x)exex

在0,为减函数，在,0为增函数

故f (x)为增函数 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 若a = 1，则有f(x)exex,f(x)exex

当x0时，ex1,0ex1,f(x)0（只有x0,f(x)0） 当x0时，0ex1,ex1,f(x)0

故f(x)在0,上为增函数，在（－∞，0）上为减函数 „„„„„„„„„„„„8分 （3）若a > 0由（1）知a = 1，则有f(x)exex,因为f (x)是偶函数及

f(x)在0,上为增函数，x[ln2,ln2]，故f(x)[f(0),f(ln2)]

即f(x)[2,] „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

不等式f(x)m0解集为空集，即f(x)m恒成立，只要m故实数m的取值范围为m525即可， 25 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12分 222．解：

（1）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）方程f (x) = 5的解分别是114,1,3和114，由于f(x)在,2和[1,4]上单

调递减，在[－2，1]和4,上单调递增，因此

A,114[1,3]114,.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

10

 阳光家教网 http://sy.ygjj.com 家教学习资料 更多家教学习资料下载

由于1145,1143,∴ „„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 （3）解法一：当x[2,4]时，f(x)x22x8. g(x)k(x4)(x22x8)

22kk20k36，  x(k2)x(4k8)x2422 k2, ①当2 g(x)min2k0. 又2x6， „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 22k2k0,即2k6时,取x, 22k220k361[(k10)264].

44 16(k10)264,(k10)2640,

则g(x)min0. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 ②当

2k2,即k6时,取x2,g(x)min2k0. 2 由①、②可知，当k > 2时，g (x)>0，x∈[－2，4].因此，在区间[－2，4]上，函数f (x)图象

位于yk(x4)的图象的下方.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 解法二：当x[2,4]时,f(x)x22x8. 由yk(x4),2yx2x8,2得x2(k2)x(4k8)0，

解得k2或k18 „„„„„„„„„„„ 10分

令(k2)4(4k8)0,在区间[－2，4]上，当k = 2时，y = 2 (x + 4)的图象与函数f (x)的图象只交于一点（0，8）（切点）：当k = 18时，y = 18 (x + 4)的图象与函数f (x)的图象没有交点，如图可知，由于直线 y = k (x + 4)过点（－4，0），当k > 2时，直线y = k (x + 4)是由直线y = 2 (x +4)绕点（－4，0）逆时针方向旋转得到，因此，在区间[－2，4]上，函数f (x)图象位于y = k (x + 4)的图象的下方. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

11