函数与导数
一、选择题
1. 设f(x)是定义在R上的奇函数,当x时,f(x)xx,则f() (A) (B) (C)1 (D)3
3.若点(a,b)在ylgx 图像上,a,则下列点也在此图像上的是
(A)(a,b) (B) (10a,1b) (C) (a,b+1) (D)(a2,2b)
.
nf(x)axg(x)4.函数在区间〔0,1〕
y 上的图像如图所示,则n可能是
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)
n1
0.5
5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为
f(x)c,xAxc,xAA(A,c为常数)。已
x O 0.5 1 知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品时用时15分钟,那么c和A的值分别
是
A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 6.已知点
A0,2B2,0,
yx的图象上,则使得ABC的面积为2的点C,若点C在函数
2的个数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.对于函数f(x)asinxbxc (其中,a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f(1)和
f(1),所得出的正确结果一定不可能是
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
xf(x)ex,对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出9.已知函数
-------------
-------------
以下判断: ①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
10.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
2x, x>0 11.已知函数f(x)=,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于
x+1,x≤0
A.-3 B.-1 C.1 D.3
12.)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 A.2 B.3 C.6 D.9 13.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)| +g(x)是偶函数 D.|f(x)|- g(x)是奇函数
f(x)14.函数
1lg(x1)1x的定义域是 ( )
(1,) D.(,)
A.(,1) B.(1,) C.(1,1)15.设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数.如下定义两个函数fgx和fgx;
fgxfxg(x).对任意xR,fgxfg(x);则下列等式恒成立的是( )
A.fghxfhgh(x) B.fghxfhgh(x) C.fghxfhgh(x) D.
fghxfhgh(x)
xxfxgxaa2 fxgx16.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足
a0,且a1,若g2a,则f2
15172A. 2 B. 4 C. 4 D. a
-------------
-------------
17.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单
位:年)满足函数关系:
MtM02t30,其中
M0为t0时铯137的含量,已知t30时,
铯137的含量的变化率是10ln2(太贝克/年),则M60
A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克
y18.曲线
sinx1M(,0)sinxcosx2在点4处的切线的斜率为( )
2211A.2 B.2 C.2 D.2
x2f(x)e1,g(x)x4x3,若有f(a)g(b),则b的取值范围为 19.已知函数
A.[22,22] B.(22,22) C.[1,3] D.(1,3)
x20.由直线
3,x3,y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为( )
31A.2 B.1 C.2 D.3 2f(x)x,g(x)lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小xt21.设直线与函数
时t的值为( )
521A.1 B.2 C.2 D.2
f(x)22.若
1log1(2x1)2,则f(x)的定义域为( )
1111(,0)(,)(,0)(0,)(,2)2 B.2 C.2 D.2
xye23.曲线在点A(0,1)处的切线斜率为( )
1A.1 B.2 C.e D.e
-------------
-------------
234749,7343,72401,…,则72011的末两位数字为( ) 24.观察下列各式:则
A.01 B.43 C.07 D.49
f(x)25.若
1log1(2x1)2,则f(x)定义域为
111(,0)(,0](,)2 B.2 C. 2A. D.(0,)
26.设f(x)x2x4lnx,则f(x)0的解集为
A. (0,) B. (1,0)(2,) C. (2,) D.(1,0)
2'21x,x1f(x)1log2x,x1,则满足f(x)2的x的取值范围是 28.设函数
A.[1,2] B.[0,2] C.[1,+]
D.[0,+]
29.函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集
为
A.(1,1) B.(1,+) C.(,1) D.(,+)
f(x)30.若函数
x(2x1)(xa)为奇函数,则a=
12A.2 B.3 3C.4 D.1
(0,+)31.下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是
x23yx1y2yx1yx(A) (B) (C) (D)
32.由曲线
yx,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为
1016(A)3 (B)4 (C)3 (D)6
y33.函数
1x1的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D -------------
-------------
2yx2x1在点(1,0)处的切线方程为 34.(全国Ⅰ文4)曲线
(A)yx1 (B)yx1 (C)y2x2 (D)y2x2 【答案】A
35. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0),则 (A)(C)
xfx20=
xx2或x4 (B)xx0或x4
xx0或x6 (D)xx2或x2
【答案】B
36.(全国Ⅱ理2)函数y=2x(x≥0)的反函数为
xx22(A)y=4(x∈R) (B)y=4(x≥0) (C)y=4x(x∈R) (D)y=4x(x≥0)
【答案】B 【命题意图】:本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。
22y2x2【解析】由y=2x,得x=4.函数y=2x(x≥0)的反函数为y=4.(x≥0)
2xye1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的37.(全国Ⅱ理8)曲线
面积为
112(A)3 (B)2 (C)3 (D)1
【答案】A 【命题意图】:本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。 【解析】
y|x0(2e2x)|x022xye1在点(0,2)处的切线方程为,故曲线
1y2x2,易得切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为3。
5f()2 38.(全国Ⅱ理9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)2x(1x),则1111(A)2 (B)4 (C)4 (D)2
-------------
-------------
【答案】A 【命题意图】:本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。
5511111f()f(2)f()f()2(1)2222222。 【解析】
y39.(山东理9)函数
x2sinx2的图象大致是
【答案】C
y'【解析】因为
1112cosxy'2cosx0cosx224,此时原函数是增函数;,所以令,得
y'令
112cosx0cosx24,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C正确. ,得
3f(x)xx,f(x)0x2R40.(山东理10)已知是上最小正周期为2的周期函数,且当时,
则函数yf(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
【答案】A
3f(x)xx,又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,0x2【解析】因为当时,
且f(0)0,所以f(6)f(4)f(2)f(0)0,又因为f(1)0,所以f(3)0,f(5)0,故函数yf(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为6个,选A.
3yx11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 41.(山东文4)曲线
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
【答案】C
42.(陕西理3)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x),f(x2)f(x),则函数yf(x)的图像是 ( )
-------------
-------------
【答案】B
【分析】根据题意,确定函数yf(x)的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.
【解析】选由f(x)f(x)得yf(x)是偶函数,所以函数yf(x)的图象关于y轴对称,可知B,D符合;由f(x2)f(x)得yf(x)是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B. 43.(陕西文4) 函数yx的图像是 ( )
13
【答案】B
【分析】已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断.
x【解析】 取合题意.
1111y8,8,则2,2,选项B,D符合;取x1,则y1,选项B符
44.(上海理16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,)上单调递减的函数是( )
yln(A)【答案】A
1|x|. (B)yx3. (C)y2|x|. (D)ycosx.
45.(上海文15)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)上单调递减的函数是( )
yx
(A)yx (B)yx (C)yx (D)【答案】A
1f(x)()x1246.(四川理7)若f(x)是R上的奇函数,且当x0时,,则f(x)的反函数的
图象大致是
21213-------------
-------------
【答案】A
【解析】当x0时,函数f(x)单调递减,值域为(1,2),此时,其反函数单调递减且图象在x1与x2之间,故选A.
1y()x1247.(四川文4)函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
【答案】A
1y()x12【解析】图象过点(0,2),且单调递减,故它关于直线y=x对称的图象过点(2,0)且
单调递减,选A. 48.(天津理2)函数 A.
fx2x3x的零点所在的一个区间是( ). C.
2,1
B.
1,0 0,1
D.
1,2
,
【答案】B
【解析】解法1.因为所以函数解法2.
f22260,
f12130f02000,
fx2x3x的零点所在的一个区间是
x2可化为3x.
1,0.故选B.
fx2x3x0xf02000y2y3x画出函数和的图象,可观察出选项C,D不正确,且,由
此可排除A,故选B.
log2x,x0fxlogx,x01fafa249.(天津理8)设函数若,则实数a的取值范围
是( ).
-------------
-------------
A. C.
1,0U0,1
B. D.
,1U1,
1,0U1, ,1U0,1
2log2a0,所以a1,
【答案】C
【解析】若a0,则若a0则
2log2alog1a2,即
log1alog2a,即
2log2a0,所以0a1,1a0。
.故选C.
所以实数a的取值范围是a1或1a0,即50.(天津文4)函数 A.
a1,0U1,fxexx2的零点所在的一个区间是( ). C.
2,1
B.
1,0 0,1
D.
1,2
【答案】C 【解析】因为
f1e1120,
f0e00210fxexx22,
f1e112e10选C.
51.(天津文6)设
,所以函数的零点所在的一个区间是
0,1.故
alog54,
blog53,
clog45,则( ).
A.acb B.bca C.abc D.bac 【答案】D 【解析】因为所以
clog45clog4412,
0alog541,
,
0alog531,
blog53log53log54log54a所以bac,故选D.
gxx4,xgx,fx2gxx2xRgxx,xgx,则fx的52.(天津文10)设函数,
值域是( ).
9,0U1,0,,
A.4 B.99,,0U2,4 D.4 C.
-------------
------------- 【答案】D 【解析】解
xgxx222xgxx22xx20x1x2得,则或.因此的
x2x2,x1或x2,fx2xx2,1x2, 解为:1x2.于是
当x1或x2时,
2fx2.
2199xx2xfx24,则4, 当1x2时,
9fx02又当x1和x2时,xx20,所以4.
99,0U2,fx24fx0fx由以上,可得或,因此的值域是4.故选D.
x2x0fxf(x1),x0,则f2f2的值为 53.(浙江理1)已知
A.6 B.5 C.4 D.2
【答案】B
54.(浙江文10)设函数
fxax2bxca,b,cRyfxfxe2x1,若为函数的一个
极值点,则下列图象不可能为的图象是
【答案】D
ln(2x)在其上为增函数的是
55.(重庆理5)下列区间中,函数f(x)=
431,0,3 (C)2(A)(-,1] (B)【答案】D
2 (D)
1,2
56.(重庆理10)设m,k为整数,方程mxkx20在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为
(A)-8 (B)8 (C)12 (D) 13 -------------
------------- 【答案】D 57. (重庆文3)曲线(A)(C)
在点
,
处的切线方程为 A
(B) (D)
58. (重庆文6)设,,
,则,,的大小关系是
(A) (B)(C) (D)【答案】B
59. (重庆文7)若函数
(A) (B)(C)3 (D)4 【答案】C 二、填空题
60. (重庆文15)若实数,,满足是 . 【答案】
在
处取最小值,则
,,则的最大值
2log23
61.(浙江文11)设函数k【答案】-1
f(x)41x ,若f(a)2,则实数a=________________________
62.(天津文16)设函数
fxx1x.对任意x1,,fmxmfx0恒成立,
则实数m的取值范围是 . 【答案】
,1.
fxx1x对x1,是增函数,
【解析】解法1.显然m0,由于函数则当m0时,
fmxmfx0不恒成立,因此m0.
在
当m0时,函数
hxfmxmfxx1,1m,
是减函数,
因此当x1时,
hx取得最大值
h1m-------------
-------------
于是
hxfmxmfx0恒成立等价于
hxx1,的最大值0,
1m0,m1h1m0m0,,1. m即,解得m1.于是实数m的取值范围是
解法2.然m0,由于函数
fxx1x对x1,是增函数,则当m0时,
fmxmfx0不成立,因此m0.
1m1m22m2x21m2fmxmfxmxmx2mx0mxxmxmx,
因为
x1,222gx2m2x21m22mx1m0m0,,则,设函数,则当
x1,g1m21gxx1时为增函数,于是时,取得最小值.
2g1m10,m0,,1. 解得m1.于是实数m的取值范围是
解法3.因为对任意
x1,,
fmxmfx0恒成立,所以对x1,不等式
1m0,m1m0fmxmfx0也成立,于是fmmf10,即m,解m0,得
m1.于是实数m的取值范围是,1.
3x,fxx12,.对任意
263.(天津理16)设函数
xf4m2fxfx14fmm恒成立,则实数m的取值范围是 .
33,2U2,【答案】.
xfx14fmf4m2fx0m【解析】解法1.不等式化为,即
x2x114m4214m2x24m20m,
22-------------
-------------
12214mx2x302m整理得,
因为x0,所以
2112x32x3x3,24mgx2. m2x2,设x2,
312x,124mgx2m于是题目化为,对任意恒成立的问题.
为此需求
gx2x3x3,210uu2的最大值.设x2,3. x,则
220,2ugxhu3u2u3处取得最大值. 函数在区间3上是增函数,因而在4228218h3124m2umaxx933,所以m33,
整理得12m5m4230,即4mm233m210,
所以4m30,解得
233m2或2,
33m,U,22m因此实数的取值范围是.
312x,124mgx2m解法2.同解法1,题目化为,对任意恒成立的问题.
为此需求
gx2x3x3,2的最大值. x2,
gxht设t2x3,则
t6,.
4t4t26t9t96t.
t因为函数
993t6t在3,上是增函数,所以当t6时,t取得最小值2.
481833214mgx66maxht2m23,整理得从而有最大值.所以
12m45m230,
-------------
-------------
即
4m233m102,所以4m30,解得
2m33m2或2,
33m,U,22m因此实数的取值范围是.
xfx14fmf4m2fx0m解法3.不等式化为,即
x2x114m4214m2x24m20m,
22114m2x22x302m整理得, 1F(x)124m2x22x3m 令.
由于
F030,则其判别式0,因此
Fx的最小值不可能在函数图象的顶点得到,
33Fx,2恒成立,必须使2为最小值, 所以为使F(x)0对任意
即实数m应满足
1124m20;m3F0;223122214m2m
333mm2,2U2,m4 解得,因此实数的取值范围是. 3x,2, 解法4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意xf4m2fxfx14fmm恒成立,
x则对
32,不等式
xf4m2fxfx14fmm也成立,
-------------
-------------
3x2代入上式得把
32f4mf2m31f4fm22,即
91292214m4m14m4222444m,因为4m0,上式两边同乘以4m,并整理
得
12m45m230,即4m33m10,所以4m230,解得
22m32或
m32,
33m,2U2,m因此实数的取值范围是.
11(lglg25)1002=64.(四川理13)计算4_______.
【答案】-20
11lg2lg51(lglg25)100222lg102014101002【解析】.
65.(四川理16)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(xR)是单函数.下列命题:
2f(x)x①函数(xR)是单函数;
②若f(x)为单函数,x1,x2A且x1x2,则f(x1)f(x2); ③若f:A→B为单函数,则对于任意bB,它至多有一个原象; ④函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号)
【答案】②③
【解析】对于①,若f(x1)f(x2),则x1x2,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;对于③,若任意bB,若有两个及以上的原象,也即当f(x1)f(x2)时,不一定有x1x2,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件.
11f(x)f(2) f(x)2x166.(上海文3)若函数的反函数为,则
-------------
-------------
3【答案】2
ab67.(上海文12)行列式
cd(a,b,c,d{1,1,2}所有可能的值中,最大的是
15【答案】2
68.(上海文14)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)xg(x)在区间
[0,1]上的值域为[2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为
【答案】[2,7]
f(x)69.(上海理1)函数
11x2的反函数为f(x) .
12【答案】x
abcd70.(上海理10)行列式
【答案】6
(a,b,c,d{1,1,2})所有可能的值中,最大的是 .
71.(上海理13) 设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)xg(x)在区间[3,4]上的值域为[2,5],则f(x)在区间[10,10]上的值域为 . 【答案】[15,11]
lgx,x0f(x)x10,x„0,则f(f(2))______. 72.(陕西文11)设
【答案】2
【分析】由x2算起,先判断x的范围,是大于0,还是不大于0,;再判断f(2)作为自变量的值时的范围,最后即可计算出结果.
【解析】∵x20,∴
f(2)1021022f(10)lg102,即100,所以
f(f(2)).2
-------------
-------------
lgxf(x)a2x3tdt073.(陕西理11)设
x0x„0,若f(f(1))1,则a .
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断,从x1算起是解答本题的突破口. 【解析】因为x10,所以f(1)lg10,又因为
33f(0)a所以,所以a1,a1.
f(x)x3t2dtxa30a,
【答案】1 74.(陕西理12)设
nN,一元二次方程x4xn0有整数根的充要条件是n .
2【答案】3或4
【分析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.
x【解析】
4164n24n,因为x是整数,即24n为整数,所以4n2,验证可知n3,4符合题意;反之n3,4nN,2,3,4为整数,且n„4,又因为,取n12时,可推出一元二次方程x4xn0有整数根. 75.(山东理16)已知函数f(x)=
logaxxb(a>0,且a1). .
当2<a<3<b<4时,函数
f(x)的零点
【答案】5 【解析】方程
x0(n,n1),nN*,则n=logaxxb(a>0,且a1)=0的根为
x0,即函数
ylogax(2a3)*的图象
xx(n,n1),nN与函数yxb(3b4)的交点横坐标为0,且0,结合图象,因为当
xa(2a3)时,y1,此时对应直线上y1的点的横坐标x1b(4,5);当y2时,
对数函数
ylogax(2a3)的图象上点的横坐标x(4,9),直线yxb(3b4)的图
象上点的横坐标x(5,6),故所求的n5.
x76.(辽宁文16)已知函数f(x)e2xa有零点,则a的取值范围是___________.
【答案】(,2ln22] 77.(江苏2)函数
f(x)log5(2x1)的单调增区间是__________
-------------
-------------
1(-,+)【答案】2
ylog5u在(0,)【解析】
1x(,),.u2x1在2大于零,且增.
本题主要考查函数的概念,基本性质,指数与对数,对数函数图象和性质,容易题 78.(江苏8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
【答案】4.
f(x)2x的图象交于
422PQ(2x)2()24(x,)(x,)xx,x,则【解析】设经过原点的直线与函数的交点为.
本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式以
及基本不等式,中档题.
2xa,x1f(x)x2a,x1,若f(1a)f(1a),则a79.(江苏11)已知实数a0,函数
的值为________
a【答案】【解析】
34
a0.
33a0,1a2a22aa,a2,不符合;4 .
a0,22aa1a2a,a本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题.
xf(x)e(x0)的图象上的动点,xOy80.(江苏12)在平面直角坐标系中,已知点P是函数
该图象在P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
11(e)e 【答案】2【解析】设
P(x0,ex0),则
l:yex0ex0(xx0),M(0,(1x0)ex0),
,过点P作l的垂线
yex0ex0(xx0),N(0,ex0x0ex0)11t[(1x0)ex0ex0x0ex0]ex0x0(ex0ex0)22
-------------
-------------
1t(ex0ex0)(1x0)2,所以,t在(0,1)上单调增,在(1,)单调减,11x01,tmax(e)2e.
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导
数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系,运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.
81.(湖南文12)已知f(x)为奇函数,g(x)f(x)9,g(2)3,则f(2) . 【答案】6
【解析】g(2)f(2)93,则f(2)6,又f(x)为奇函数,所以f(2)f(2)6。 82.(湖北文15)里氏震级M的计算公式为:
MlgAlgA0,其中A是测震仪记录的地震
曲线的最大振幅
是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地 震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6,10000
3f(x)xcosx1.若f(a)11,则f(a) . 83.(广东文12)设函数
【答案】-9
32f(x)x3x1在x 处取得极小值. 84.(广东理12)函数
【答案】
解析:f'(x)3x26x3x(x2),f(x)的单调递增区间为:(,0),(2,),递减区间为(0,2),f(x)在x2处取得极小值.2x2,f(x)x(x1)3,x285.(北京理13)已知函数,若关于x的方程f(x)k有两个不同的实
根,则实数k的取值范围是________.
【答案】
2f(x)(x2)3f(x)(x1)(x2)单调递增且值域为x【解析】单调递减且值域为(0,1],(,1),f(x)k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1)。
y86.(安徽文13)函数
16xx2的定义域是 .
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【答案】(-3,2)【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.
x+3x20,所以3x2. 【解析】由6xx0可得xx60,即
22三、解答题
exf(x)1ax,其中a为正实数 87.(安徽理16)设
(Ⅰ)当a43时,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围。
本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
1ax2axf(x)e.22(1ax)f(x)解:对求导得 ①
xa
(I)当
431f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.3,若22
综合①,可知
x
1(,)2
+ ↗
12
0 极大值
13(,)22
- ↘
32
0 极小值
3(,)2
+ ↗
f(x) f(x)
所以,
x131x22是极小值点,2是极大值点.
(II)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知
ax22ax10
24a4a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1. 在R上恒成立,因此
88.(北京理18)已知函数(1)求f(x)的单调区间;
f(x)(xk)e.
2xk(2)若对x(0,),都有
f(x)1e,求k的取值范围。
-------------
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x122f(x)(xk)ek/fk解:(1),令(x)0得xk
/当k0时,f(x)在(,k)和(k,)上递增,在(k,k)上递减; 当k0时,f(x)在(,k)和(k,)上递减,在(k,k)上递增
(2) 当k0时,
f(k1)ek1k11f(x)e;所以不可能对x(0,)都有e;
4k2f(k)f(x)(0,)e,所以对x(0,)都k0当时有(1)知在上的最大值为f(x)有
1e
4k21111k0[,0)f(x)e2e时,k的取值范围为2。即e,故对x(0,)都有
89.(北京文18)已知函数(II)求
fxxkex,(I)求
fx的单调区间;
fx在区间
0,1上的最小值。
/x/fx(,k1)f(x)(xk1)ef解:(I),令(x)0xk1;所以在上递减,
在(k1,)上递增;
(II)当k10,即k1时,函数
fx在区间
0,1上递增,所以f(x)fx在区间
minf(0)k;
当0k11即1k2时,由(I)知,函数增,所以
0,k1上递减,(k1,1]上递
f(x)minf(k1)ek1;
当k11,即k2时,函数
fx在区间
0,1上递减,所以f(x)minf(1)(1k)e。
90.(福建理18)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销
售价格x(单位:元/千克)满足关系式
ya10(x6)2x3,其中3x6,a为常数,已知
销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ) 求a的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. -------------
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a1011a2y11x5解:(Ⅰ)因为时,所以2;
y(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量利润:
210(x6)2x3,所以商场每日销售该商品所获得的
f(x)(x3)[210(x6)2]210(x3)(x6)2,3x6x3;
f/(x)10[(x6)22(x3)(x6)]30(x4)(x6),令f/(x)0得x4
函数f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当x4时函数f(x)取得最大值f(4)42 答:当销售价格x4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.
91.(福建文22)已知a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2,(e=2.71828…
是自然对数的底数)。 (Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=1
t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若
e不存在,说明理由。 解:(Ⅰ)b=2;(Ⅱ)a>0时单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1),a<0时单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞);(Ⅲ)存在m,M;m的最小值为1,M的最大值为2。 92.(广东理21)
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y12x.实数p,q满足p24q0,x1,x2是方程4x2pxq0的两根,记(p,q)max{|x1|,|x2|}.12p0)(p00)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p,q),4|p|有(p,q)0;2
(1)过点A(p0,2l,l(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线12,
切点分别为
E(p1,121p1),E'(P2,P22)l,l44,12与y分别交于F,F'.线段EF上异于两端点的点M(a,b)XP1P2(a,b)|P1|2
集记为X.证明:
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15(3)设D(x,y)yx1,y(x1)2,当点(p,q)取遍D时,求44(p,q)的最小值(记为min)和最大值(记为max).;
11kABy'|xp0(x)|xp0p022, 解:(1)
y直线AB的方程为
12111p0p0(xp0)yp0xp024224,即,
q11p0pp022p24q(pp0)2xpxq024,方程的判别式,
p|p0p|p0pp022或2,
|p,
两根
x1,2pp00p0p|||p||0||22,又0|p||p0|,
|p0ppppp||p||0||0||p0|||p||0|||0|222,得222,
p0|2.
(p,q)|2(2)由a4b0知点M(a,b)在抛物线L的下方,
pp20|p||p2|①当a0,b0时,作图可知,若M(a,b)X,则1,得1;
若
|p1||p2|,显然有点M(a,b)X; M(a,b)X|p1||p2|.
②当a0,b0时,点M(a,b)在第二象限, 作图可知,若M(a,b)X,则若
p10p2,且
|p1||p2|;
|p1||p2|,显然有点M(a,b)X;
M(a,b)X|p1||p2|.
根据曲线的对称性可知,当a0时,M(a,b)X综上所述,M(a,b)X|p1||p2|,
|p1||p2|(*);
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由(1)知点M在直线EF上,方程xaxb0的两根
2x1,2p1pa12或2,
同理点M在直线E'F'上,方程xaxb0的两根
2x1,2p2pa22或2,
(a,b)|若
p1pppp||1||a1||2||a2|2,则2不比2、2、2小,
,又
|p1||p2||p1||p2|M(a,b)X,
(a,b)|p1p|(a,b)|1|M(a,b)X;又由(1)知,M(a,b)X22; p1|M(a,b)X,综合(*)式,得证. 2(a,b)|(3)联立yx1,
y15(x1)244得交点(0,1),(2,1),可知0p2,
12x0q1412x0(x0,x0)xp24过点(p,q)作抛物线L的切线,设切点为,则0,
得
x022px04q02xpp4q, 0,解得
q又
15(p1)2244,即p4q42p,
115x0t2t2(t1)2x0p42p,设42pt,222,
max|x055|maxx0max22,4; ,又
2qp1,x0pp4p4p|p2|2,
min|x0|min12.
2f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的单调性. a093.(广东文19) 设,讨论函数
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞)
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