特殊四边形中的动点问题及解题方法
1、如图，在直角梯形 ABCD中, AD// BC / B=90 , AD=24cm AB=8cm BC=26cm 动点 P 从 A开始沿 AD边向 D 以
1cm/s的速度运动；动点 Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发， 当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止
分
析： 四边形 PQCD为平行四边形时 PD=CQ (1) 四边形 PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE (2) 四边形 PQCD为直角梯形时QC-PD=EC
运动，设运动时间为 (1) (2) (3)
所有的关系式都可用含有 t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可. 解答： 解：(1 )•••四边形PQCDP行为四边形 ••• PD=CQ • 24-t=3t 解得：t=6
即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形.
ts .
为何值时，四边形 PQCD为平行四边为何值时，四边形 形?
为何值时，四边形 PQCD为等腰梯形？
(2) 过 D作 DEI BC于 E 则四边形ABEC为矩形 • BE=AD=24cm • • EC=BC-BE=2cm ••四边形PQCD^等腰梯形 • QC-PD=2CE 即 3t- (24-t ) =4 解得：t=7 (s)
即当t=7 (s)时，四边形 PQCD^等腰梯形. (3) 由题意知： QC-PD=EC寸， 四边形PQCD^直角梯形即3t- (24-t ) =2 解得：t= (s)
即当t= (s)时，四边形 PQCD^直角梯形. 点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.
2、如图，△ ABC中，点0为AC边上的一个动点，过点 0作直线MN/ BC,设MN交/ BCA的外角平分线 CF于点 F,交/
ACB内角平分线 CE于E. (1) 试说明EO=FO
(2) 当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形并证明你的结论；
(3) 若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想△ ABC的形状并证明你的结论.
分析：
(1) 根据CE平分/ ACB MN/ BC,找到相等的角，即/ OEC2 ECB再根据等边对等角得 OE=OC同理OC=OF可 得 EO=FO (2) 禾U用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形. (3) 利用已知条件及正方形的性质解答. 解答：
解：(1 )T CE平分/ ACB
•••/ ACE玄 BCE
•/ MN/ BC,
•••/ OEC=/ ECB •••/ OEC=/ OCE
• OE=OC 同理 OC=OF • OE=O．F
(2) 当点O运动到AC中点处时，四边形 AECF是矩形. 如图 AO=CO EO=FO
•四边形AECF为平行四边形， •/ CE平分/ ACB
•••/ ACE= / ACB 同理，/ ACF= / ACG
•••/ ECFh ACE+Z ACF= (/ ACB+Z ACG = X 180° =90° , •四边形AECF是矩形.
(3) A ABC是直角三角形 •••四边形AECF是正方形， • AC丄 EN,故/ AOM=9° , •/ MN/ BC,
•Z BCA=Z AOM •Z BCA=90°
• △ ABC是直角三角形.
点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论( 1) 再利用结论( 1)和矩形的判定证明结论( 2)
再对( 3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论 更要注意前一问题为下一问题提供思路 有相似的 思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.
3、如图，直角梯形 ABCD中 , AD// BC, Z ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4,动点P从B点出发，沿线段
点N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒 动.设点Q运动的时间为t秒.
(1) 求NC MC的长(用t的代数式表示);
(2) 当t为何值时，四边形 PCDQ勾成平行四边形；
(3) 是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将△ ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t的值；若不 存在 请说明理由；
(4) 探究：t为何值时，△ PMC为等腰三角形.
分析：
(1) 依据题意易知四边形 ABNQ是矩形• NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+D(BC AD已知，DQ就是t ,即解；T AB// QN •••△ CMMA CAB • CM CA=CN CB (2) CB CN已知，根据勾股定理可求 CA=5,即可表示 CM 四边形PCDQ勾成平行四边形就是 PC=DQ列方程4-t=t即解；
(3)可先根据QN平分△ ABC的周长，得出 MN+NC=AM+BN+A据此来求出t的值.然后根据得出的 t的值，求出△ MNC勺面积，即可判断出△ MNC勺面积是否为△ ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 ( 4)由于等腰三角形的两腰不确定 因此分三种情况进行讨论： ① 当MP=MC^，那么PC=2NC据此可求出t的值.
② 当CM=CP^，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出
t的值.
t值.
BC向点
C作匀速运动；动点 Q从点D出发，沿线段 DA向点A作匀速运动.过 Q点垂直于AD的射线交AC于点M 交BC于
1个单位长度.当 Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运
③ 当MP=PC寸，在直角三角形 MN冲，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 综上所述可得出符合条件的 t 的值. 解答:
解：(1 )T AQ=3-t ••• CN=4- ( 3-t ) =1+t
在 Rt △ ABC中, AC2=AB2+BC2=32+42 • AC=5
在 Rt △ MNC中, cos / NCM= = , CM=. (2) 由于四边形 PCDQ勾成平行四边形 • PC=QD 即卩 4-t=t 解得 t=2 ． (3) 如果射线ABC的周长平分，则有： MN+NC=AM+BN+AB 即： (1+t) +1+t= 解得： t= ( 5 分) 而 MN= NC=( 1+t) • SA MNC= (1+t ) 2=
(3+4+5)
t的值.
(1+t) 2
当 t= 时，SA MNC=(1+t ) 2=工 X 4X3
•••不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ ABC的面积和周长同时平分. (4) ①当 MP=M(时(如图1) 则有： NP=NC
即 PC=2NC. 4-t=2 (1+t ) 解得： t=
② 当CM=CP^(如图2) 则有： ( 1+t ) =4-t 解得： t=
③ 当PM=PC寸(如图3) 则有：
在 Rt △ MNP中, PM2=MN2+PN2 而 MN= NC=( 1+t)
PN=NC-PC(= 1+t) -(4-t ) =2t-3 • [ ( 1+t ) ]2+ ( 2t-3 ) 2=( 4-t ) 2 解得： t1= ， t2=-1 (舍去)
•••当t= , t= , t=时，△ PMC为等腰三角形
点评： 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法． 4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达 A点，运动停止.点 Q沿 线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点 P沿路线O? B? A运动. (1) 直接写出A、B两点的坐标；
(2) 设点Q的运动时间为t (秒)，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式； (3)
出点P的坐标，并直接写出以点 OP、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 分析：
(1) 分别令y=0, x=0，即可求出 A B的坐标；
(2) )因为OA=8 OB=6利用勾股定理可得 AB=10,进而可求出点 Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2,从 而可求出， 当P在线段 OB上运动(或 OW t < 3)时，0Q=, OP=2t, S=t2，当P在线段BA上运动(或 3v t < 8)时，OQ=t, AP=6+10-2t=16-2t，作PD丄OA于点D,由相似三角形的性质，得
PD=48-6t5，利用S= 12OQ< PD即可求出答案；
当S= 485时，求M的坐标.
(3) 令S= 485,求出t的值，进而求出 OD PD,即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简 单的计算即可写出 M的坐标. 解答：
解：(1) y=0, x=0，求得 A (8, 0) B (0, 6), (2) v OA=8 OB=6 二 AB=10.
•••点Q由O到A的时间是8仁8 (秒), •••点P的速度是6+108=2 (单位长度/秒). 当P在线段OB上运动(或OW t W 3)时， OQ=t, OP=2t, S=t2.
当P在线段BA上运动(或3v t W 8)时， OQ=t, AP=6+10-2t=16-2t , 如图，做PDL OA于点D, 由 PDBO=APAB 得 PD= 48-6t5 . • S= 12OQ?PD= 35t2+245t .
(3) 当 S= 485 时，T 485 > 12< 3< 6.••点 P在 AB上 当 S= 485 时，-35t2+245t= 485 • t=4
• PD= 48-6 X 45= 245 , AD=16-2< 4=8 AD= 82-(245)2= 325 • OD=8- 325= 85 • P ( 85 , 245 )
M1 ( 285 , 245 ) , M2 (- 125 , 245 ), M3 ( 125 , - 245 ) 点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理•在解题(
2)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象.
5.已知：如图，在直角梯形 COAB中，OC // AB，以O为原点建立平面直角坐标系，
A, B, C三点的坐标分别
为A(8,0), B(810), C(0,4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为 t秒. (1) 求直线BC的解析式；
2
(2) 若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形 OPDC的面积是梯形COAB面积的-?
7
(3) 动点P从点O出发，沿折线 OABD的路线移动过程中，设 △ OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围；
6. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点.
(1) 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2) 若点Q以②中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经 过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
四边形中的动点问题课后作业
1. 如图，已知 AD与 BC相交于 E,/ 1 = 7 2=7 3, BD-CD, / ADB= 90°, CHLAB于 H,
(1) 求证：CD// AB; (2) 求证：△ BDE^A ACE
CH交AD于F.
1
(3) 若0为AB中点，求证：OF= BE.
2
2、 如图1— 4—21，在边长为a的菱形 ABCD中, 7 DAB= 60°, E是异于 A D两点的动点, A E + CF=a,说明：不论 E、F怎样移动，三角形 BEF总是正三角形.
F是CD上的动点，满足
3、 在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.
⑴求证：；
(2)当与满足什么数量关系时， 四边形是矩形，并说明理由.
4、如图I — 4— 80,已知正方形 ABCD的对角线 AC BD相交于点 O, E是AC上一点，过点 A作AGL EB,垂足为 G AG交 BD于 F,贝U OE=OF (1)请证明0E=OF
(2)解答(1)题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点 明；若不成立，请说明理由.
E在AC的延长线上，AGL EB AG交EB的延长
线于G , AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变，则仍有 OE=OF问：猜测所得结论是否成立？若成立， 请给出证
5、如图，在梯形 ABCD中，AD // BC, AD 3, DC 5, AB 4.2, / B 45 .动点M从B点出发沿线段
BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向 终点D运动.设运动的时间为 t秒. (1) 求BC的长.
(2) 当MN // AB时，求t的值. (3)试探究: t为何值时,
6.如图所示，有四个动点 P、Q E、F分别从正方形 ABCD勺四个顶点出发，沿着 AB BC CD DA以同样的速度向 B、C、D A各点移动。
(1) 试判断四边形 PQEF是正方形并证明。 (2) PE是否总过某一定点，并说明理由。 (3) 四边形PQEF勺顶点位于何处时， 其面积最小，最大？各是多少？
7、已知：如图，△ ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A B两点出发，分别沿 AB BC方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点 P的运动时间为t (s)，解答下列问题：
(1 )当t为何值时，△ PBQ是直角三角形？ (2)设四边形 APQC的面积为y (cm),求y与t的
关系式；是否存在某一时刻 t，使四边形APQC勺面积是△ ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的 t值；不存 在，说明理由；
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