二次函数图像与性质总结含答案

二次函数图像与性质总结

含答案

The document was prepared on January 2, 2021

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质：

开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 y轴 a的符号 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0a0 0，0 a0 向下 0，0 y轴 时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. yax2c的性质： 上加下减。

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 y轴 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0a0 0，c a0 向下 0，c y轴 时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． 3. yaxh的性质：

左加右减。

a的符号 2开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 xh时，y随x的增大而增大；xha0 h，0 a0 向下 h，0 X=h 时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 4. yaxhk的性质：

2a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 xh时，y随x的增大而增大；xha0 h，k a0 向下 h，k X=h 时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k2向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

三、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

2从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后

b4acb2者通过配方可以得到前者，即yax，其中

2a4a22b4acb2． h，k2a4a四、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般

c、以及0，c关于对称轴对称的点我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴

对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数yax2bxc的性质

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb4acb2，． 4a2ab，顶点坐标为2a当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；2a2a4acb2b当x时，y有最小值．

4a2a 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．

4a2a

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次

函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，

a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

bab的符号的判定：对称轴x在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则

2aab0，概括的说就是“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22

3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a2222yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图像参考：

y=2x2y=x2y=2x2y=2(x-4)2

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x22y=2(x-4)2-3十一、

y=2x2+2y=2x2

y=2x2-4

y= -x22y= -x2y=-2x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2【例题精讲】

一、一元二次函数的图象的画法

1【例1】求作函数yx24x6的图象

211【解】yx24x6(x28x12)

2211 [(x24)2-4](x24)2-2

22以x4为中间值，取x的一些值，列表如下： x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … 5335y … 0  -2  0 … 2222【例2】求作函数yx24x3的图象。 【解】yx24x3(x24x3) [(x2)27][(x2)27

先画出图角在对称轴x2的右边部分，列表

x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3

【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；

(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质

【例3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的

单调区间。

【解】 yx26x2x26x97(x3)27

由配方结果可知：顶点坐标为(3，7)，对称轴为x3； 10 ∴当x3时， ymin7

函数在区间(，3]上是减函数，在区间[3，)上是增函数。 【例4】求函数y5x23x1图象的顶点坐标、对称轴、最值。

4acb24(5)13229b33，  4a4(5)202a2(5)1032929 ,)，对称轴为x102020329 50 ∴当x时，函数取得最大值ymaz

10203 函数在区间(,]上是增函数，在区间[3,)上是减函数。

10【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两

个：

(1)配方法；如例3

(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。 ∴函数图象的顶点坐标为(b24acb2(a0) 任何一个函数都可配方成如下形式：ya(x)2a4a【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念

例1 如果函数y(m3)xm为 。

例2 抛物线yx22x4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。

23m2mx1是二次函数，那么m的值

2.关于二次函数的性质及图象

例3 函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，

则a、b、c，，abc，abc的符号 为 ，

Y -1 X O X=1

例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）

（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或

第三象限

3.确定二次函数的解析式

y 例5 已知：函数yaxbxc的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A）yx22x3 （B）yx22x3

23 -1 3 x

（C）yx22x3 （D）yx22x3

o 4.一次函数图像与二次函数图像综合考查

例6 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线

yax2bxc经过B、C、D三点，求它的解析式； 64CD2AOB510 【练习题】 -6一、选择题 1. 二次函数yx24x7的顶点坐标是( ) A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）

2. 把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A. y2(x1)2 B. y2(x1)2 C. y2x21 D. y2x213.函数ykx2k和ykx(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二

次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当

x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

个 个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x11.3和x2（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.

26. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

27.方程2xx2的正根的个数为（ ）

x个 个 个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. yx2x2 B. yx2x2

C. yx2x2或yx2x2 D. yx2x2或yx2x2

二、填空题

9．二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线y2(x2)26的顶点为C，已知直线ykx3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取.

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为

5(0,).

2(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大

第15题图

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式

12

hv0tgt2 （02燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米

（2）在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线yx2bxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5 ：4的点P的坐标。

一，选择题、

1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C

二、填空题、

9．b4 10．x＜-3 11．如y2x24,y2x4等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15

三、解答题

15．(1)设抛物线的解析式为yax2bxc,由题意可得

b 2a3abc65c21515解得a,b3,c 所以yx23x

2222

(2)x1或-5 (2)x3

116．（1）由已知得，1520t10t2，解得t13,t21当t3时不合题意，

2舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，h5t220t＝5(t2)220，可知顶点的横坐标t2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17．（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则93bc0b2解得 c3c3所以此抛物线解析式为yx22x3．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－1，0）.设P(a,a22a3)，则11(4a22a3):(44)5:4.化简得a22a35 22当a22a3＞0时，a22a35得a4,a2 ∴P（4，5）或P（－2，5）

当a22a3＜0时，a22a35即a22a20，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．