人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
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人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
7.4.1 向量的内积
【教学目标】
1。 理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积． 2。 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题． 3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律． 【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解． 【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念． 【教学过程】 环节 教学内容 一个物体在力F的作用下产生师生互动 教师提出问题．并简设计意图 此引例体现了位移s，那么力F所做的功应当单讲解什么是功,让学生了数学知识与其F 怎样计算? 对功有个基本了解． 他学科的联系，让师生共同计算这个力学生了解所学内s 所做的功． 容在实际生活中导 入 力做的功为 我们知道,功只有大的具体应用． 小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这 W＝∣s∣∣F∣cos θ， 其中q是F与s的夹角． ∣F∣cos θ是F在物体前进给我们一种启示,能否把方向上分量的大小． “功\"看成是这两个向量∣s∣∣F∣cos θ称为位移s 的一种运算的结果呢?引人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》 与力向量F的内积． 出课题． 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与 b，作 错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫向 学生阅读课本，讨论此问题是为并回答教师提出的问题： 本课重点向量的(1）当‹a， b›＝0和180º时a与b的方向是怎样的？ 内积概念而准备．通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符新 课 量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180． 说明： (1)当‹a，b›＝0时，a与(2）当‹a，b›＝90b同向; (2）当‹a，b›＝180与b反向； (3）当‹a,b›＝90与b垂直，记做a⊥b； 时，a时，a时，a与b的方向又是怎样合学生的特点，容的？ 师生共同总结,师重点强调说明(4）． 易被学生接受． （4)在两向量的夹角定义中， 在本节中首次引入了抽象的向教师直接给出向量内量内积,学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受a·b的含义,所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲两向量必须是同起点的． 2．向量的内积 已知非零向量a与b，‹a，积的基本表达式． 教师引导学生学习向b›为两向量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做a与b的量内积的概念． 内积．记作 学生阅读课本中向量新 课 a·b＝｜ a ｜ | b | cos‹a,b›． 内积的概念，在理解的基人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》 积为0． 念． 说明: 教师总结向量内积的 （1）两个向量的内积是一个含义，以及公式中的注意 实数，不是向量,可以是正数、负事项． 数或零，符号由cos‹a,b›的符号 所决定； （2）两个向量的内积，写成 学生讨论求解． a·b，符号“·”在向量运算中不 是乘号，既不能省略，也不能用“×” 代替。 例1 求 |a|＝5，|b｜＝学生阅读课本中向量 内积的性质,在理解的基 4,‹a，b›＝120．求a·b． 解 由已知条件得 础上记忆向量内积的性 规定：0向量与任何向量的内础上记忆向量内积的概解清楚． 求内积题目不必过难，重点在理解内积的概念． 两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的,与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法a·b＝| a | ｜ b ｜ cos‹a，b› 质． ＝5×4×cos 120＝－10． 教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积运算律都要重的表达式入手，仔细推导． 则、3．向量的内积的性质 新推导,学生对于教师引导学生学习向概念和运算法则的理解和掌握有些困难．它与实数乘法的概念，性质新 课 设 a，b 为两个非零向量,e是单位向量，则: （1）a·e＝e·a＝∣a∣cos ‹ a,e›； 量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律和分人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》 （2)ab a·b＝0； 2配律，不满足结合律．比及运算律有联系如，实数乘法满足结合也有区别，这一区(3）a·a＝｜ a ｜或 | a |＝a·a； 律:(a·b）·c＝a·(b·c)，别是教学的重点（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣． 而向量的内积不满足；又也是学生学习的 如实数乘法满足：a·c＝难点． 4．向量的内积的运算律 （1）交换律：a·b＝b·a; (2)结合律：(λa）·b＝λb·c a＝b，而向量的 内积不满足这种推出关系． 通过例2可让学生加深对结合律与运算律的理解． 通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点． （a·b)＝a·(λb)； （3）分配律：(a＋b）·c＝学生分组讨论证明的方法； 小组讨论后,教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法． a·c＋b·c． 例2 求证： （1）(a＋b）·（a－b)＝∣a∣－∣b∣; （2）∣a＋b∣＋∣a－b∣2222 22教师给出具体的证明步骤． ＝2(∣a∣－∣b∣）． 证明 (1）显然 (a＋b)·（a－b） ＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝∣a∣－∣b∣; 22 人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》 （2)因为 ∣a＋b∣＝（a＋b)·(a＋b） ＝∣a∣＋2 a·b＋∣b∣， ∣a－b∣＝(a－b）·（a－b) ＝∣a∣－2 a·b＋∣b∣, 所以 ∣a＋b∣＋∣a－b∣ ＝2(∣a∣－∣b∣)． 2222222222师生合作共同完成． 学习新知后紧跟练习,有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况． 练习 1．已知 ｜ a ｜，| b |,‹a，b›，求 a·b： （1) | a ｜＝7，| b ｜＝12，‹a，b›＝120°; （2) ｜ a |＝8，｜ b |＝4,‹a，b›＝π； 2．已知 | a ｜，｜ b ｜,a·b，求 ‹a，b›： (1) ｜ a ｜| b ｜＝16，a·b＝－8； （2) | a ｜| b ｜＝12，a·b＝6错误!． 人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》 本节课我们主要学习了平面学生阅读课本，畅谈梳理总结也向量的内积，常见的题型主要有： 本节课的收获，老师引导可针对学生薄弱（1）直接计算内积; 梳理，总结本节课的知识或易错处进行强小 结 (2）由内积求向量的模； （3）运用内积的性质判定两向量是否垂直； （4）性质和运算律的简单应用． 教材 P54 练习A 组第 2 题作 （1)（3），第 3 题（1）（2)； 业 （选做）练习 B 组第1题．
点． 调和总结． 巩固拓展．
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