一、选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件为不可能事件的是（ ） A．某射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上的一面是5点 C．找到一个三角形，其内角和为360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为（ ） A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
4．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．6cm
B．12cm
C．18cm
D．24cm
5．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ） A．20
B．1508
C．1550
D．1558
6．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的
函数解析式为（ ） A．y＝x2﹣3x﹣7
B．y＝x2﹣x﹣7
C．y＝x2﹣3x+1
D．y＝x2﹣4x﹣4
7．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝（ ）
A．59°
B．31°
C．124°
D．121°
8．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝x的取值范围是（ ）
（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则
A．﹣2＜x＜0或x＞1 C．x＜﹣2或x＞1
B．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝1 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．
A．1
B．12
C．3
D．6
10．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（ ）
A．45°
B．60°
C．45° 或135°
D．60° 或120°
11．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF．若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为（ ）
A．4
B．2
C．5
D．6
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的面积比为9：16，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ ．
15．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y＝ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
16．如图，已知双曲线
经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边
AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 ．
17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ．
18．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则
的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程： （1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣7x+6＝0．
20．（12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
21．（8分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况． （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．
22．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过点A、C， （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，写出△A1B1C1的各顶点的坐标； （2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标； （3）若△ABC和△A2B2C2关于点（﹣1，1）位似，位似比为1：2，画出△A2B2C2（在位似中心另一侧）并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求证：AC2＝AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
25．（14分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
2020-2021学年山东省德州市禹城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A．
2．下列事件为不可能事件的是（ ） A．某射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上的一面是5点 C．找到一个三角形，其内角和为360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．依据定义即可解答． 【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
B、掷一次骰子，向上的一面是5点可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C、在找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意；
D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意． 故选：C．
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为（ ） A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0， 解得：a＝±1，
∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴a﹣1≠0， 即a≠1， ∴a的值是﹣1． 故选：B．
4．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．6cm
B．12cm
C．18cm
D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ACB ∴
，
，
设屏幕上的小树高是x，则解得x＝18cm． 故选：C．
5．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ） A．20
B．1508
C．1550
D．1558
【分析】此题实际上是求二次函数y＝﹣2（x﹣20）2+1558在定义域x∈【15，2】内的最大值的问题，因为该二次函数的开口方向向下，所以当x﹣20＝0时，y取最大值． 【解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）
2
+1558，且15≤x≤22，
∴当x＝20时，y最大值＝1558． 故选：D．
6．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A．y＝x2﹣3x﹣7
B．y＝x2﹣x﹣7
C．y＝x2﹣3x+1
D．y＝x2﹣4x﹣4
【分析】利用配方法求得抛物线顶点式方程，然后由平移规律写出新函数解析式． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数y＝（x﹣1﹣1）2﹣4﹣4，即y＝（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4x﹣4． 故选：D．
7．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝（ ）
A．59°
B．31°
C．124°
D．121°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+
∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝62°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°， ∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×118°＝59°， ∴∠BOC＝180°﹣59°＝121°． 故选：D．
8．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝x的取值范围是（ ）
（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则
A．﹣2＜x＜0或x＞1 C．x＜﹣2或x＞1
B．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出y1＞y2时，x的取值范围． 【解答】解：如图所示：
若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1． 故选：D．
9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝1 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．
A．1
B．12
C．3
D．6
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2πcm， 设圆锥的母线长为R，则：解得R＝3． 故选：C．
10．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（ ）
＝2π，
A．45°
B．60°
C．45° 或135°
D．60° 或120°
【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数． 【解答】解：连接OA，OB， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠AOB＝90°，
若点P在优弧ADB上，则∠APB＝∠AOB＝45°； 若点P在劣弧AB上，
则∠APB＝180°﹣45°＝135°． ∴∠APB＝45°或135°． 故选：C．
11．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF．若
⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为（ ）
A．4
B．2
C．5
D．6
【分析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE＝∠ADF，可证得EF＝AC，继而求得答案．
【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC， ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB， ∵弦CD∥AB， ∴AH⊥CD，
∴CH＝CD＝×4＝2， ∵⊙O的半径为， ∴OA＝OC＝， ∴OH＝
＝，
∴AH＝OA+OH＝+＝4， ∴AC＝
＝2
．
∵∠CDE＝∠ADF， ∴∴
＝＝
， ，
．
∴EF＝AC＝2故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当
x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）； ∵当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②错误）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
＝2，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）； ∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大， 当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）． 故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的面积比为9：16，则△ABC与△DEF的相似比为 3:4 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为9：16， ∴△ABC与△DEF的相似比为3:4，
故答案为：3:4．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝ 40° ．
【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD＝90°，又由圆周角定理，可得∠D＝∠ABC＝50°，继而求得答案． 【解答】解：连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠D＝∠ABC＝50°， ∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°． 故答案为：40°．
15．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y＝ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【分析】根据抛物线的对称性易知阴影部分的面积实际是一个半圆的面积，且半圆的半径为OA（或OB）的一半，AB的四分之一，由此可求出阴影部分的面积． 【解答】解：由题意，得：S阴影＝S半圆＝π（16．如图，已知双曲线
）2＝π（cm2）．
经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边
AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 9 ．
【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线
可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析
式可得纵坐标，继而可求得面积．
【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线可得k＝﹣6，
，
即双曲线解析式为y＝﹣，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y＝﹣， y＝1，
即点C坐标为（﹣6，1）， ∴AC＝3， 又∵OB＝6，
∴S△AOC＝×AC×OB＝9． 故答案为：9．
17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 1或5 ．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5．
18．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则
的值为 ．
【分析】根据翻折的性质可得∠BAC＝∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA＝∠BAC，从而得到∠EAC＝∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出
＝，设DF＝3x，FC＝5x，在
Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处， ∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF， ∴AE﹣AF＝CD﹣CF， 即DF＝EF， ∴
＝
，
又∵∠AFC＝∠EFD， ∴△ACF∽△EDF， ∴
＝
＝，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x， 在Rt△ADF中，AD＝
＝
＝4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x， ∴
＝
＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程： （1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣7x+6＝0．
【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． (2)利用因式分解法求解即可．
【解答】解:（1）∵3x（x﹣2）＝2(x﹣2)， ∴3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， ∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0， ∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝，x2＝2． (2)∵2x2﹣7x+6＝0， ∴（x﹣2）（2x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝．
20．（12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．
【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500， 则w＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下： A方案中：20＜x≤30， 故当x＝30时，w有最大值， 此时wA＝2000； B方案中：
，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35， ∴当x＝45时，w有最大值， 此时wB＝1250， ∵wA＞wB， ∴A方案利润更高．
21．（8分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从
中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况． （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可 【解答】解：法一，列表
法二，画树形图
（1）从上面表中（树形图）可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是：2，3，4，5，6；
（2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，所以P（小明胜）＝，P（小亮胜）＝， 所以：此游戏对双方不公平．
22．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过点A、C， （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
【分析】（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y＝中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y＝ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y＝﹣
，即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3）， ∴AB＝5，
∵四边形ABCD为正方形， ∴点C的坐标为（5，﹣3）． ∵反比例函数y＝的图象经过点C， ∴﹣3＝，解得k＝﹣15， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣
；
∵一次函数y＝ax+b的图象经过点A，C， ∴解得
， ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）设P点的坐标为（x，y）．
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴×OA•|x|＝52，
∴×2•|x|＝25， 解得x＝±25． 当x＝25时，y＝﹣当x＝﹣25时，y＝﹣
＝﹣；
＝．
∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，写出△A1B1C1的各顶点的坐标； （2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标； （3）若△ABC和△A2B2C2关于点（﹣1，1）位似，位似比为1：2，画出△A2B2C2（在位似中心另一侧）并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴的交点即为所求点，再利用待定系数法求解可得点P坐标；
（3）分别作出三个顶点关于点（﹣1，1）位似，且位似比为1：2的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）． （2）如图，△PAB即为所求，
点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣3，﹣5）， 设BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（﹣3，﹣5），B（﹣2，1）代入得∴BA′的解析式为y＝6x+13， 当y＝0时，6x+13＝0，解得x＝﹣∴点P（﹣
，0）；
，
，解得
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（3，﹣7），B2（1，1），C2（﹣1，﹣3）． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求证：AC2＝AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠BAC＝∠OCA＝∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥EF， ∴OC⊥EF， ∵OC为半径， ∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：连接BC， ∵AB为⊙O直径，AD⊥EF， ∴∠BCA＝∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴△ACB∽△ADC， ∴
＝
，
∴AC2＝AD•AB．
（3）解：∵∠ACD＝30°，∠OCD＝90°， ∴∠OCA＝60°， ∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，
∵在Rt△ACD中，AD＝AC＝×2＝1， 由勾股定理得：DC＝
，
﹣
＝
﹣
∴阴影部分的面积是S＝S梯形OCDA﹣S扇形OCA＝×（2+1）×π．
25．（14分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；
（3）设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP＝CB时，PC＝3∴P1（0，3+3
，∴OP＝OC+PC＝3+3
）；
或OP＝PC﹣OC＝3
﹣3
），P2（0，3﹣3
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3
）或（0，3﹣3
）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．
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