山东科技大学2010-2011学年第二学期《概率论与数理统计》考试试卷(A卷)

班级 姓名 学号

题号 得分 一 二 三 四 五 总得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，共15分）

1、设P(A)0.5，P(B)0.6，P(BA)0.8，则P(AB) 。

。

2、设X~N(3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y独立，则ZX2Y73、设X满足E(X)2，D(X)2，则由契比雪夫不等式有P{2X6} 。 二、单项选择题（每小题5分，共15分）

1、设随机变量X~N(0,1)，则方程t2Xt40没有实根的概率为（ ）。

2(A) 2(2)1； (B) 2(1)1； (C) (2)； (D) (2)(2)。

2、设总体X~N, 2，其中, 2均未知。现随机抽取样本容量为16的一个样本，

算得样本均值x20，样本标准差s1，则的置信水平为0.90的置信区间是（ ）。

1111(A) 20t0.05(16), 20t0.05(16) (B) 20t0.1(16), 20t0.1(16)

444411(C) 20t0.05(15), 20t0.05(15) (D) 4421120t(15), 20t0.1(15) 0.1442nX~________ 3、X与Y相互独立，X~N(0,1)，Y~n，则ZY(A) t(n)； (B) t(n1)； (C) N(0,1)； (D) F(1,n)。

三、计算题（每小题10分，共30分）

1、某仓库有同种产品6箱，其中3箱、2箱、1箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，三厂的 次品率分别为

111,和，现从6箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件产品，试求：101520（1）取得的产品是次品的概率；（2）若已知取得的是一件次品，试求是丙厂生产的概率。 2、已知随机变量X~b(6,0.4)，Y~(4)，XY0.5，令ZX0.4Y，试求： （1）Cov(X,Y)；（2）E(Z)；（3）D(Z)。

4x3, 0x13、设随机变量X的概率密度为f(x)， 试求：

0, 其它 （1）X的分布函数F(x)；（2）P{X}；（3）P{1X}。 四、解答题（共34分）

1、（10分）设随机变量X,Y的概率密度为

1212cxy, 0x2,0y2， 试求： f(x,y)0, 其它 （1）常数c；（2）边缘概率密度fXx和fYy，并判断X与Y是否独立？（3）PX1。

x1x0e,2、（10分）已知总体X服从参数为的指数分布，即概率密度f(x) ，

x00,其中未知参数似然估计量。

0，设X1,X2,,Xn为样本，试求：（1）的矩估计量；（2）的最大

X3、（6分）已知随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Ye的概率密度fY(y)。

4、（8分）一批灯泡的寿命XN(,2)，其中与2未知。今随机抽取6只，算得样

本均值x515，样本标准差s29.8。在显著性水平0.05下，检验是否等于520？ （附表t0.025(5)2.5706，t0.025(6)2.4469，t0.05(5)2.0150，t0.05(6)1.9432） 五、证明题（6分）

1n设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,)的简单随机样本，记XXi，

ni121n1222S(XX),UXS,证明：U是2的无偏估计量。 in1i1n2

山东科技大学2010—2011学年第 一 学期 《概率论与数理统计》考试试卷（A卷）

答案

一、填空题（每题5分，共20分） 1、

117； 2、32； 3、3； 4、 a,b

mnm16二、选择题（每题5分，共15分） 1、A； 2、D； 3、B 三、1、（10分）

解：FYyPYyPeXy ………………………………………… 2分 当y1时，FYyPXlnyFXlny……………………………4分 fYyFYyfXlnylny221 ………………………………………… 6分 y 1ey2 …………………………………………………… 8分

2lny1e2所以 fYyy20，，y1其他 …………………………………10分

2、（10分）

解：（1）X,Y的边缘分

X,Y的分布率

22取值 概率 -1 3/8 0 2/8 1 3/8 布率均为

取值 概率 0 2/8 1 6/8 均为

323EXEY101088866DXEX2E2XEX2,DY ………………… 6分

88CovX,YEXYEXEY（2）XY

6DXDY8

随机变量XY的分

取值 概率 -1 2/8 0 4/8 1 2/8 布率为

EXY0,XY0 ………………………………………………… 8分

（3）DXYDXDY2CovX,Y3、（15分） 解：（1）

6630 …………10分 882fx,ydxdy1 ……………………………………… 1分

c001e2xydydxc1 c2 ……………………………… 2分

2 (2)fXxfx,ydy

当x0时，fXx02e2xydy2e2x

2e2x,x0 …………………………………………… 5分 fXx其他0，fYyfx,ydx

2xy0当y0时，fYy2edxey

ey,fYy0,y0其他 …………………………………………………8分

（3）fXxfYyfx,y,所以X,Y 相互独立 …………………… 10分 （4）当z0时，

FZ(z)P{max(X,Y)z}P{Xz,Yz}P{Xz}P{Yz}FX(z)FY(z)……………………13分

fZ(z)fX(z)FY(z)FX(z)fY(z)

2e2z(1ez)(1e2z)ezez2e2z3e3z

ez2e2z3e3zz0 故 fZ(z) …………………… 15分

其他0

4、（10分）

解：似然函数Lf(x;) ……………………………………… 2分

ii1nnlnLnlnnlnc(1)lnxi …………………………… 6分

i1由

lnL()0，可得最大似然估计值为ˆnlnxi1n；……8分

inlncˆ最大似然估计量为nlnXi1n …………………………… 10分

inlnc四、（每题10分，共20分）

1、(1)解：设Ai分别表示一箱商品中有0、1、2个次品，i1,2,3，

则P(A1)P(A2)P(A3)1 ……………………………………… 2分 3 设B表示顾客买下这箱商品，则

C924C8228P(BA1)1,P(BA2)2,P(BA3)2…………………… 6分

C105C1045 P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)142810.807 3545…………………… 8分

1P(A1)P(BA1)30.413………………………… 10分 (2) P(A1B)P(B)0.8072、解：要检验的假设为 H0:570,H1:570 ………………… 2分

检验用的统计量 UX0/n2~N(0,1) …………………………… 4分

拒绝域为 Uz(n1)z0.0251.96 ………………… 6分

U0575.25708/100.65102.061.96，落在拒绝域内 ……… 8分

故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg . ……………… 10分