班级 姓名 学号
题号 得分 一 二 三 四 五 总得分 评卷人 一、填空题(每小题5分,共15分)
1、设P(A)0.5,P(B)0.6,P(BA)0.8,则P(AB) 。
。
2、设X~N(3,1),Y~N(2,1),且X与Y独立,则ZX2Y73、设X满足E(X)2,D(X)2,则由契比雪夫不等式有P{2X6} 。 二、单项选择题(每小题5分,共15分)
1、设随机变量X~N(0,1),则方程t2Xt40没有实根的概率为( )。
2(A) 2(2)1; (B) 2(1)1; (C) (2); (D) (2)(2)。
2、设总体X~N, 2,其中, 2均未知。现随机抽取样本容量为16的一个样本,
算得样本均值x20,样本标准差s1,则的置信水平为0.90的置信区间是( )。
1111(A) 20t0.05(16), 20t0.05(16) (B) 20t0.1(16), 20t0.1(16)
444411(C) 20t0.05(15), 20t0.05(15) (D) 4421120t(15), 20t0.1(15) 0.1442nX~________ 3、X与Y相互独立,X~N(0,1),Y~n,则ZY(A) t(n); (B) t(n1); (C) N(0,1); (D) F(1,n)。
三、计算题(每小题10分,共30分)
1、某仓库有同种产品6箱,其中3箱、2箱、1箱依次是由甲、乙、丙厂生产的,三厂的 次品率分别为
111,和,现从6箱中任取一箱,再从取得的一箱中任取一件产品,试求:101520(1)取得的产品是次品的概率;(2)若已知取得的是一件次品,试求是丙厂生产的概率。 2、已知随机变量X~b(6,0.4),Y~(4),XY0.5,令ZX0.4Y,试求: (1)Cov(X,Y);(2)E(Z);(3)D(Z)。
4x3, 0x13、设随机变量X的概率密度为f(x), 试求:
0, 其它 (1)X的分布函数F(x);(2)P{X};(3)P{1X}。 四、解答题(共34分)
1、(10分)设随机变量X,Y的概率密度为
1212cxy, 0x2,0y2, 试求: f(x,y)0, 其它 (1)常数c;(2)边缘概率密度fXx和fYy,并判断X与Y是否独立?(3)PX1。
x1x0e,2、(10分)已知总体X服从参数为的指数分布,即概率密度f(x) ,
x00,其中未知参数似然估计量。
0,设X1,X2,,Xn为样本,试求:(1)的矩估计量;(2)的最大
X3、(6分)已知随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,试求Ye的概率密度fY(y)。
4、(8分)一批灯泡的寿命XN(,2),其中与2未知。今随机抽取6只,算得样
本均值x515,样本标准差s29.8。在显著性水平0.05下,检验是否等于520? (附表t0.025(5)2.5706,t0.025(6)2.4469,t0.05(5)2.0150,t0.05(6)1.9432) 五、证明题(6分)
1n设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,)的简单随机样本,记XXi,
ni121n1222S(XX),UXS,证明:U是2的无偏估计量。 in1i1n2
山东科技大学2010—2011学年第 一 学期 《概率论与数理统计》考试试卷(A卷)
答案
一、填空题(每题5分,共20分) 1、
117; 2、32; 3、3; 4、 a,b
mnm16二、选择题(每题5分,共15分) 1、A; 2、D; 3、B 三、1、(10分)
解:FYyPYyPeXy ………………………………………… 2分 当y1时,FYyPXlnyFXlny……………………………4分 fYyFYyfXlnylny221 ………………………………………… 6分 y 1ey2 …………………………………………………… 8分
2lny1e2所以 fYyy20,,y1其他 …………………………………10分
2、(10分)
解:(1)X,Y的边缘分
X,Y的分布率
22取值 概率 -1 3/8 0 2/8 1 3/8 布率均为
取值 概率 0 2/8 1 6/8 均为
323EXEY101088866DXEX2E2XEX2,DY ………………… 6分
88CovX,YEXYEXEY(2)XY
6DXDY8
随机变量XY的分
取值 概率 -1 2/8 0 4/8 1 2/8 布率为
EXY0,XY0 ………………………………………………… 8分
(3)DXYDXDY2CovX,Y3、(15分) 解:(1)
6630 …………10分 882fx,ydxdy1 ……………………………………… 1分
c001e2xydydxc1 c2 ……………………………… 2分
2 (2)fXxfx,ydy
当x0时,fXx02e2xydy2e2x
2e2x,x0 …………………………………………… 5分 fXx其他0,fYyfx,ydx
2xy0当y0时,fYy2edxey
ey,fYy0,y0其他 …………………………………………………8分
(3)fXxfYyfx,y,所以X,Y 相互独立 …………………… 10分 (4)当z0时,
FZ(z)P{max(X,Y)z}P{Xz,Yz}P{Xz}P{Yz}FX(z)FY(z)……………………13分
fZ(z)fX(z)FY(z)FX(z)fY(z)
2e2z(1ez)(1e2z)ezez2e2z3e3z
ez2e2z3e3zz0 故 fZ(z) …………………… 15分
其他0
4、(10分)
解:似然函数Lf(x;) ……………………………………… 2分
ii1nnlnLnlnnlnc(1)lnxi …………………………… 6分
i1由
lnL()0,可得最大似然估计值为ˆnlnxi1n;……8分
inlncˆ最大似然估计量为nlnXi1n …………………………… 10分
inlnc四、(每题10分,共20分)
1、(1)解:设Ai分别表示一箱商品中有0、1、2个次品,i1,2,3,
则P(A1)P(A2)P(A3)1 ……………………………………… 2分 3 设B表示顾客买下这箱商品,则
C924C8228P(BA1)1,P(BA2)2,P(BA3)2…………………… 6分
C105C1045 P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)142810.807 3545…………………… 8分
1P(A1)P(BA1)30.413………………………… 10分 (2) P(A1B)P(B)0.8072、解:要检验的假设为 H0:570,H1:570 ………………… 2分
检验用的统计量 UX0/n2~N(0,1) …………………………… 4分
拒绝域为 Uz(n1)z0.0251.96 ………………… 6分
U0575.25708/100.65102.061.96,落在拒绝域内 ……… 8分
故拒绝原假设H0,即不能认为平均折断力为570 kg . ……………… 10分
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