高数习题课

1、解下列微分方程：

xy22222xydx(1yxxy)dy ， （2）21xy2222(3x2xyy)dx(x2xy)dy0（1997考研题） （3）y， （4）

xyx2（1）y（5）

yytanxcosx（1992考研数学1）

（提示：以后在解一阶线性微分方程时，遇到P(x)dx时所出现的绝对值符号可以省去！如上面（5）等） （6）y2xy2xex （7）求yyx 满足 yx020，yx00的特解。

（8）y2ye2x0（2000年考研题） （9）y2y3y3x1 （10）y3y2y2ex

2、某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加200万元，若以Wt表示第

t年的工资总额（单位：百万元），则Wt满足的差分方程是_________。（2001考研试题） 3、解差分方程 yx12yx42x

4*、（2003研试题）

设F(x)f(x)g(x)，其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：

''，g，且f（0）=0，f（x）f（x）g（x）（x）f（x）g（x）2ex

（1）求出F（x）所满足的一阶微分方程；

（2）求出F（x）的表达式。

答 案

1、解下列微分方程： （1）y解：

xy1x2

1dyx2lnyln1(x)C1 ， dx22y1xC通解 yC1x2 （C为任意常数，Ce1）。 （2）x2ydx(1y2x2x2y2)dy

x21y2解：xydx(1x)(1y)dy， dxdy 21xyy211xlnyc。 (1)dx(y)dy， 得 xarctg221xy222y2（3）y 2xyxyu1dxu2du解 令u， 则 uxu， 即

xuxu1ulnulnxc1 得 ulnxuc1 即yCe （C为任意常数）

（4）(3x2xyy)dx(x2xy)dy0（1997考研题）

222yxydyy23x22xyu解：， 令 2xdxx2xy2u1dxduu232udu3(u2u1)du3 得 ux， 即 x，也即2uu1xdx12udx2u132得 lnuu1lnxC1， 即 xy2x2yx3c。

（5）

yytanxcosx（1992考研数学1），答案为：y(xC)cosx。

2（6）y2xy2xex

22xdx2xdxx2x2解： ye[2xeedxc]=e[2xdxc] ex[x2c]。

（7）求yyx 满足 yx00，yx00的特解。

解：令yp，则 ppx

1dx1dxpe[xedxc1]ex[xexdxc1]x1c1ex

x2xc2 由y(0)0 得 c11，yex1 ye2x2xx1。 由y(0)0 得c21，即ye22x0)1下的特解（2000年考研题） （8）求方程y2ye0在条件y(0)1，y(xx2x解：令yp 则 p2pe

2x2x2x2x pe[eedxc]e[xc1]

 由y(0)1 得 c11 yxe2xe2x

12x12xxeec2 24312x12x3 又由y(0)1 得 c2，即yxee。

2444（9）y2y3y3x1

y解：特征方程 r2r30，特征根 r11，r23

特解 yabx，得a通解 y21 b1 31xc1exc2e3x 3（10）解 y3y2y2ex

解：特征方程 r3r20

特征根 r11，r22

令特解 ykxex，得k2，通解为 y2xexc1exc2e2x。

2、某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加200万元，若以Wt表示第

t年的工资总额（单位：百万元），则Wt满足的差分方程是_________。（2001考研试题） 答：Wt1.2Wt12 3、yx12yx42x

解：b2a，故取s=1，得yx4x2x1A2x(2xA)2x

4*、（2003研试题）

设F(x)f(x)g(x)，其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：

''，g，且f（0）=0，f（x）f（x）g（x）（x）f（x）g（x）2ex

2（1）求出F（x）所满足的一阶微分方程；

（2）求出F（x）的表达式。 解： F=4e（x）g（x）f（x）'222x2F（x）

'F（x）2F（x）4e2x

2x2dx2dxe2xce2x F(x)e(4eedxC）e将F（0）=f（0）g（0）= 0代入，得c= -1，即F（x）2xe2x。