12力矩分配法

第12章 力矩分配法及超静结构影响线

【12.1 力矩分配法的基本概念】【12.2力矩分配法计算无侧移结构】【12.3

无剪力分配法】

【12.4 超静定梁的影响线】【12.5内力包络图】

目的要求

熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。了解超静结构影响线的绘制和内力包络图的绘制。

学习内容

转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。无剪力分配法的概念及计算。超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图的绘制。

12.1力矩分配法的基本概念

12.1.1.力矩分配法概述

力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合受算。

理论基础：位移法；

计算结果：杆端弯矩；

适用范围：连续梁和无侧移刚架。12.1.2 正负号规定

在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。

12.1.3 转动刚度S

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转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB杆的线刚度 i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下：

12.1.4传递系数C

杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB

等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表。

举例12—1

12.2力矩分配法计算无侧移结构

12.2.1 单结点结构在结点集中力偶作用下的计算

如图12-2所示结构，在结点集中力偶m作用下，使结点1转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯矩称为分配弯矩，产生的远端弯矩称为传递弯矩。

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分配弯矩：

C） （1）

（j=A，B，传递弯矩：

（j=A，B，C） (2)

注意：

（1）结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。

（2）分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值，即：

（3）只有分配弯矩才能向远端传递。

（4）分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 举例12—2

12.2.2 单结点结构在跨间荷载作用下的计算

如图12—3所示两跨超静定梁，将整个变形过程分为两步：

图12—3

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第一步，在刚结点处加刚臂，阻止结点转动，将连续梁分解为两根单跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点B各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB。

第二步，去掉联系，相当于在结点B加上负的不平衡力矩MB，并将它分给各个杆端及传递到远端。

叠加以上两步的杆端弯矩，得到最后杆端弯矩。举例12—3 举例12—4

12.2.3 多结点无侧移结构的计算

用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。以图12-4所示连续梁为例加以说明。

（1）加刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原结构的差别是：

在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变形上结点B、C不能转动。

（2）为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住），在结点B加上（－MB），如

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图c,此时ABC部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点的不平衡力矩是MC+ M传 。

（3）为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上（－(MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点C处于暂时的平衡。

（4）传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新的约束力矩M传，重复（2）、（3）两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。

（5）叠加：最后杆端弯矩： M=∑M分配＋∑M传递＋MF

举例12—5

注意：

①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。

②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。

③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。

④每次要将结点不平衡力矩变号分配。

⑤结点i的不平衡力矩Mi 等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。连续梁例举例12—6 无侧移刚架例举例12—7

12.3无剪力分配法

力矩分配法适用于解连续梁和无侧移刚架，不能直接用于有侧移刚架。但对有些特殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。 12.3.1 无剪力分配法的使用条件

结构中除了两端无相对线位移的杆（无侧移杆）外，其余的杆均为剪力静定杆。如果杆

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件两端线位移平行并且不于轴线垂直，则该杆为两端无相对线位移的杆。如图12—5(a)中EC、CF、DB杆均为无侧移杆。

剪力静定杆指的是剪力可由投影平衡条件求出来的杆。如图12-5(a)中AB、BC杆均为剪力静定杆。两端无相对线位移的杆转动刚度、传递系数和固端弯矩确定，前面已经讨论过，下面讨论剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩确定。12.3.2 剪力静定杆的固端弯矩计算

先由投影平衡条件求出杆端剪力，再将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动，另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图12—5(b)(c)所示。12.3.3 剪力静定杆的转动刚度

转动刚度：S=i，传递系数：C=－1。推导过程举例12—8 分析举例举例12—9 分析举例举例12—10

12.4 超静定梁的影响线

超静定梁的影响线也有两种作法，一种是静力法，用力法（或位移法或力矩分配法）直接求出影响线系数的方法；一种是机动法，利用超静定梁影响线与挠度图之间的比拟关系作出影响线。本节着重介绍用机动法作连续梁影响线。 12.4.1 机动法作影响线的原理

机动法作影响线的原理可由功的互等定理推出 举例12—11

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12.4.2 用机动法作超静定梁的影响线的步骤

（1）撤去与所求量值S相应的约束，并代以未知力S；

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（2）使所得体系沿S的正方向发生相应的单位虚位移，作出荷载作用点的挠度图δP1图，即为S影响线。横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。

静定梁的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；超静定梁的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。

连续梁影响线 举例12—12 举例 12—13

12.5连续梁的内力包络图

12.5.1 可移动均布活载的最不利布置

绘出该量值的影响线，由公式S＝∑qω可知，在对应影响线的所有正号部分布满均布活载，所有负号部分不布置时，该量值产生最大值；反之，在对应影响线的所有负号部分布满均布活载，所有正号部分不布置时，该量值产生最小值。举例12—14 下图给出了几个量值的最不利活载布置。

求跨中截面正弯矩时最不利活载布置：本跨布置活荷载,向两边每隔一跨布置活荷载。

求支座截面负弯矩及支座反力时最不利荷载布置：支座相邻两跨布置活荷载,向两边每隔一

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12.5.2 连续梁的内力包络图

求在恒载及活载共同作用下，连续梁各截面可能产生的最大内力和最小内力。 连续梁的内力包络图具体作法如下：

（1）把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。 （2）全梁布满恒载，绘制M恒。

（3）逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。

（4）求出各计算截面的Mmax 和Mmin。 任意截面K的最大弯矩和最小弯矩按下式计算：（5）将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。

举例 12—15

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