2014年全国2卷理科数学解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科

（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合M=｛0,1,2｝，Nx|x23x20，则MN=( )

A.1 B.2 C.0,1 D.1,2

2. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2( )

A.5 B.5 C.4i D.4i

3. 设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab =( )

A.1 B.2 C.3 D.5

4. 钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2 ，则AC=( )

2A.5 B.5 C.2 D.1

5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

A. 17 B. 5 C. 10 D. 1

279273

7. 执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8. 设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

xy709. 设x,y满足约束条件x3y10，则z2xy的最大值为( )

3xy50A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10. 设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )

1

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A.

3393 C. 63 D. 9

B.

3244811. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10530 D. 2 1022fx0m2，则m的取值范围12. 设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x0满足x02m是( )

A. (,6)(6,) B. (,4)(4,) C. (,2)(2,) D.(,1)(4,)

第Ⅱ卷

二.填空题

13. xa的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14. 函数fxsinx22sincosx的最大值为________.

15. 已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是________. 16. 设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知数列an满足a1=1，an13an1.

（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

102（Ⅱ）证明：11…+13.

a1a2an218. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

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19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号t 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入y

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

bti1nityiy2ti1nˆ ˆybt，ait

20. （本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左,右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线abMF1与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.

21. （本小题满分12分） 已知函数fx=exex2x （Ⅰ）讨论fx的单调性；

（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142

21.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

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请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与的中点，AD的延长线交（Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）ADDE=2PB2

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,.

O于点E.证明：

O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC

2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数fx=x1xa(a0)

a（Ⅰ）证明：f(x)2；

（Ⅱ）若f35，求a的取值范围.

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答案与详解

一、选择题

1~6 DAABAC 7~12 DDBDCC 二、填空题

13、 0.5 14、 1 15、 (-1,3) 16、 [-1,1] 三、解答题

17.（Ⅰ）证明：∵an13an1，∴an1113(an) 221

23，即数列a1是等比数列。 ∴n12an2

an1

1313n132 a1，an3

22222321 ∴an22 （Ⅱ）证明：

12， nan31131； a12121nn1， an313 当n1时，

当n2时，∵

1)n1111113133 ∴12n1(1n) 1a1a2an333232131(1 综上，

1113 a1a2an218.（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.

∵ABCD为矩形，∴F为BD中点， 又∵E为PD中点，

∴EF为△BDP的中位线.

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EF∥PB 由PB面AEC，可得PB∥平面AEC.

EF面AEC （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设ABCDa， 则D(0,3,0)，A(0,0,0)，E(0,31,)，C(a,3,0) 22 ∴AD(0,3,0),AE(0,31,),AC(a,3,0) 22 设平面DAE，平面CAE的法向量分别为m，n， 由mAD0nAE0及可得m(1,0,0)，n(3,a,3a)

mAE0nAC0|mn||m||n|，代入解得a cos603. 2 ∴VE—ACD111313 SACDzE333222819.（Ⅰ）解：由题可知t4,y4.3，

ˆ(14)(2.94.3)(24)(3.34.3)(34)(3.64.3)(74)(5.94.3)0.5 b(14)2(24)2(34)2(74)2ˆ4.30.542.3 a∴y关于t的线性回归方程为y0.5t2.3.

（Ⅱ）令t201520069，代入y0.5t2.3， y6.8（千元）

∴2015年农村居民家庭人均收入约为6800元。

x2y2b220.（Ⅰ）解：对于221，令xc，解得y，

aabb2,F1F22c，直线MN的斜率kMN ∴MF2a22222b2MF23a. F1F22c42 ∵bac，∴2c3ac2a0，即2e3e20， 解得e1或e2(舍)， 2 6

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∴C的离心率是

1. 2

（Ⅱ）解：过点N作NQ⊥x轴于点Q，

易知MF2F1∽QNF1， ∴

QF1NQNF11， F1F2MF2MF14cb2,QN可得QF， 124a3cb2)，因为N在椭圆上， ∴N(,24ab223c2()()24a1， ∴

a2b2a7b24,a2b2c2，联立解得又. ab2721.（Ⅰ）解：f'(x)exex2， ∵e0，∴eexxx2，当且仅当x0时等式成立，

∴f'(x)0，即f(x)为R上的单调增函数。

（Ⅱ）解：g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4x4b(exex2x)

g'(x)2e2x2e2x44b(exex2x)

2[(e2x2e2x)2b(exex)2(2b2)]

2(exex2)[exex(2b2)] 易知x0时，ee①若b2，则eexxx20，

x(2b2)0，∴g(x)在（0，+∞）单调递增，

由g(0)0，可得g(x)0，符合题意； ②若b2，令eexx(2b2)0，解得xln(b1b22b)，

可知x(0,ln(b1b22b))时，g'(x)0，g(x)单调递减；

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x(ln(b1b22b),)时，g'(x)0，g(x)单调递增. ∴g(ln(b1b22b))0，与g(x)0矛盾，不符合题意， ∴b的最大值为2。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，g(ln2)

322b(4b2)ln2. 2当b2时，g(ln2)0，解得ln28230.6928， 1232. 4当b2时，可令ln2ln(b1b22b)，可得b1∴当b132182时，g(ln2)0，解得ln20.6934， 428∴ln2的近似值为0.693。

23.（Ⅰ）解：由2cos，得22cos ∴x2y22x(x1)2y21

x1cos ∴C的参数方程为（其中为参数，[0,]）

ysin （Ⅱ）解：由题可知直线CD的斜率与直线l斜率相等；

即：kCDkl ∴

sin03，解得，

31cos133)。 22 ∴D点坐标为D(, 8