数值分析试题 (A)

2014年度江西 研究生期末测试题数值分析试题

课题组内部参考不得借阅

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a10)的绝对误差x*－x( B )．

－－－＋－＋

(A) 0.5×10 s2t (B) 0.5×10 s1+t (C) 0.5×10s1t (D) 0.5×10 s2+t

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( C )．

21(A) 0051 (C) 201005

1210， (B)1121

012021041421 (D) 214101212

410

00 12211410 14131530x2x1 23x2102x30x22x3

1141

3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( D )

30x2x1 (A) 2 (B)

3x102x333x10x2x1 (C) 2 (D) 23x102x3x4

4. 等距二点的求导公式是( A )

1f(x)(ykyk1)kh(A) 

f(x)1(yy)k1kk1h1f(x)(ykyk1)kh(C) 

1f(x)(yy)k1k1khyk11(ypyc) 2

1f(x)(ykyk1)kh(B) 

f(x)1(yy)k1kk1h

(D)

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

那么yp,yc分别为( C )．

ypykhf(xk,yk)(A)  (B)

ycykhf(xk1,yk)ypykhf(xk1,yk) ycykhf(xk,yp)

1

大课题组命题组内部参考

ypykf(xk,yk)(C)  (D)

yyf(x,y)kkpcypykhf(xk,yk) yyhf(x,y)kk1pc二、填空题(每小题3分，共15分)

6. 设近似值x1,x2满足(x1)=0.5，(x2)=0.05，那么(x1x2)= ． 7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式

baf(x)dxAkf(xk)，则Ak＝ .

k0k0nn9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是

预报值：yk1ykhf(xk,yk)，校正值：yk+1= ．

三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 用简单迭代法求线性方程组

8x13x22x3204x111x2x333 6x3x12x36231的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．

12. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,5,3,2,1)和二阶均差f(4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分

311x2dx，计算过程保留4位

小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．

四、证明题(本题10分)

15. 证明求常微分方程初值问题

yf(x,y) y(x)y00h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)] 2在等距节点a=x0y(xk+1)yk+1=yk+

其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)

二、填空题(每小题3分，共15分)

6. 0.05x2+0.005x1 7. 4次多项式 8. b－a+1 9. (x)r<2 10. yk+

数值分析试题答案

h[f(xk,yk)f(xk1,yk1)]hf(xk＋1, 2yk1) ．

三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 写出迭代格式

2

大课题组命题组内部参考

(k)(k)x1(k1)00.375x20.25x32.5(k1)(k)(k)x20.3636x100.0909x33 (k1)(k)(k)x0.5x0.25x03312

X(0)=(0,0,0)T.

x1(1)00.37500.2502.52.5(1) x20.3636000.0909033 (1)x30.500.250033

得到X(1)＝(2.5，3，3)T

x1(2)00.37530.2532.52.875(2) x20.36362.500.0909332.3637 (2)x30.52.50.253031.0000

得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T

x1(3)00.3752.36370.2512.53.1364(3) x20.36362.87500.0909132.0456 (3)x30.52.8750.252.3637030.9716

得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T. 12. 计算均差列给出．

xk f(xk) 0 1 3 4 6

6 10 46 82 212 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 4 18 36 65 14/3 6 29/3 1/3 11/15 1/15 f(0,1,3,4,6)=

1 1520.25．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，8f(4, 1, 3)=6 13. f(x)=1x2,h=

x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3．



31hf(x)dx[f(x0)f(x8)

22(f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)f(x6)f(x7))] (9分)

0.25 =×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6

2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]

=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1

14. 设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．

3

大课题组命题组内部参考

因为f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100－115)×2<0，f(11)f(11)=(121－115)×2>0 取x0=11． 有迭代公式

2f(xk)xk115xk115xk+1=xk－=xk(k=0,1,2,…) f(xk)2xk22xk11115x1=＝10.727 3

221110.7273115x2=＝10.723 8 2210.727310.7238115x3=＝10.723 8 2210.7238

x*10.723 8

四、证明题(本题10分)

15. 在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得

y(xk+1)－y(xk)=

xk1xkf(x,y(x))dx

用求积梯形公式，有

y(xk+1)－y(xk)=[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]

h2将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到

y(xk+1)yk+1=yk+

h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1) 2 4