一、单项选择题(每题5分，共25分)
1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（A 0
B 1
C －1 ）。
）。
D 1/n，n是整数
2、下列说法不正确的是（A G只包含一个元
g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群
G对普通加法来说作成一个群G对普通加法来说作成一个群G对普通加法来说作成一个群
B G是全体整数的集合，C G是全体有理数的集合，D G是全体自然数的集合，3、下列叙述正确的是（A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合
）。
C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在D
环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在
4、如果集合M的一个关系是等价关系，则A 反身性5、下列哪个不是A （1）
B （123），（132），（23）C （123），（132）D
（12），（13），（23）
B 对称性
C 传递性
不一定具备的是( )。D 封闭性
S3的共轭类( )。
二、计算题(每题10分，共30分)
1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群S3的正规化子和中心化子。
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2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。
3.设R是由一切形如
出其右零因子。
近世代数试题第x,y0,0
（x，y是有理数）方阵作成的环，求
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三、证明题(每小题15分，共45分) 1、设R是由一切形如
x,0（x，y是有理数）方阵作成的环，证
y,0
明
0,00,0
是其零
因子。
2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：作成一个群，并指出其单位元。
近世代数试题第3 页共7 页
Z对此代数运算3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
近世代数试题第4 页共7 页
近世代数模拟试题答案
一、单项选择题(每题5分，共25分)
1．A 2．D 3．C 4．D 5．B
二、计算题(每题10分，共30分)
1．解：正规化子
N（S）＝{（1），（23）}。。。。。。。。。。。。（6分）
中心化子C（S）＝{（1）}。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
2．解：群G中的单位元是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
1的阶是1，－1的阶是2，i和－i的阶是4。。。。（4×2分）
3．解：设其右零因子为
a,b0,0
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
所以
x,y0,0
a,b0,0
＝
xa,xb0,0
＝0。。。。。。。。。。。。。。。（3分）
因为x任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）因此右零因子为
0,00,0
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
三、证明题(每小题15分共45分)
1．证明：设其右零因子为
a,0b,0
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
近世代数试题第5 页共7 页
所以
x,0y,0
a,0b,0
＝
xa,0yb,0
＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（5分）
因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）
同理设其右零因子为
a,0b,0
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
所以
a,0b,0
x,0y,0
＝
xa,0yb,0
＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（14分）
因此零因子为
0,00,0
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）
。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）2．明：首先该代数运算封闭。。
其次我们有：（a·b）·c＝（a＋b－3）·c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a·（b·c），结合律成
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）立。
。。。（7分）令e＝3，验证a·e＝a＋e－3＝a，有单位元。对任意元素a，6－a是其逆元，因为因此，Z对该运算作成一个群。显然，单位元是
e＝3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
a·（6－a）＝3。。。（8分）
3．证明：首先证明（Z，＋）是群，+满足结合律，对任意的
x
Z，x
0
0
x
x，0是运算+的单位元
又由于：所以x
由于
1
xxxx0
。。。。。。。（2分）x,从而（Z，＋）为群。。
。。。（4分）满足交换律，所以（Z，＋）是交换群。
1
（Z，＋）的单位元为0，
对于1Z，由于 1+（-1）=0，所以1
于是对任意kZ，
近世代数试题第
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1，。。。（5分）
若k若k若k
1
0，则：100，则10，则
k
k
0；11
1
k。。。。。。。。。。。（8分）
1
k
1
1
k
1
k
(1)(1)
k个1
(1)
(1)(k)
k
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）
综上,有1
k
k，对任意的kZ. 因而，Z
1k
k
Z,
。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）从而（Z，＋）是无限阶循环群。。
近世代数试题第7 页共7 页
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