2、设𝑓 𝑥 是直线R1上的连续函数，𝛼∈R1是任一常数，证明：(P33.13) （1） 𝑥 𝑓 𝑥 >𝛼 是开集； （2） 𝑥 𝑓 𝑥 ≥𝛼 是闭集。
3、设𝐸∈𝐿，f是E上的函数，若𝑓=0，a.e于E，则f在E上可积且 (P34.29) 𝐸𝑓𝑥𝑑𝑥=0。4、设X是距离空间，试证𝑑 𝑥,𝑦 是关于x，y的连续函数。(P55.3)
证明：只须证，对任意点列 𝑥𝑛,𝑦𝑛 ，若 𝑥𝑛,𝑦𝑛 → 𝑥,𝑦 ，有𝑑 𝑥𝑛,𝑦𝑛 →𝑑 𝑥,𝑦 ; 𝑛→∞ 即可，其中 𝑥𝑛,𝑦𝑛 , 𝑥,𝑦 ∈𝑋。
设𝑥𝑛,𝑦𝑛∈ 𝑋,𝑑 ,𝑛=1,2,⋯,∞
而𝑥𝑛→𝑥 ,𝑦𝑛→𝑦 ，则𝑑 𝑥𝑛,𝑥 →0 ,𝑑 𝑦𝑛,𝑦 →0 , 𝑛→ ∞
有 𝑋,𝑑 为距离空间，有三角不等式𝑑 𝑥𝑛,𝑦𝑛 ≤𝑑 𝑥𝑛,𝑥 +𝑑 𝑥,𝑦 +𝑑 𝑦𝑛,𝑦 所以𝑑 𝑥𝑛,𝑦𝑛 −𝑑 𝑥,𝑦 ≤𝑑 𝑥𝑛,𝑥 +𝑑 𝑦𝑛,𝑦 →0 所以是关于x,y的连续函数。
5、设 𝑋1,𝑑1 ， 𝑋2,𝑑2 是两个距离空间，它们的笛卡尔乘积𝑋=𝑋1×𝑋2，∀ 𝑥= 𝑥1,𝑥2 ，𝑦= 𝑦1,𝑦2 ∈𝑋。试证：(P55.6)
（1）𝑑 𝑥,𝑦 =𝑑1 𝑥1,y1 +d2 𝑥2,𝑦2
（2）𝑑 𝑥,𝑦 = 𝑑1 𝑥1,𝑦1 2+ 𝑑2 𝑥2,𝑦2 2
𝑥,𝑦 =max 𝑑1 𝑥1,𝑦1 ,𝑑2 𝑥2,𝑦2 （3）𝑑
证明：根据距离空间的定义，只须验证第三条（三角不等式）即可
∀ 𝑥= 𝑥1,𝑥2 ∈𝑋=𝑋1×𝑋2 ,𝑦= 𝑦1,𝑦2 ∈𝑋=𝑋1×𝑋2 ,𝑧= 𝑧1,𝑧2 ∈𝑋=𝑋1×𝑋2 有（1）𝑑 𝑥,𝑦 =𝑑1 𝑥1,𝑦1 +𝑑2 𝑥2,𝑦2 ≤𝑑1 𝑥1,𝑧1 +𝑑1 𝑧1,𝑦1 +𝑑2 𝑥2,𝑧2 +𝑑2 𝑧2,𝑦2 = 𝑑1 𝑥1,𝑧1 +𝑑2 𝑥2,𝑧2 + 𝑑1 𝑧1,𝑦1 +𝑑2 𝑧2,𝑦2 =𝑑 𝑥,𝑧 +𝑑 𝑧,𝑦 （2）注意到Minkowski不等式： 𝑑𝑖+𝑏𝑖
2 21
1
1
≤
𝑑𝑖2 2+
2 𝑏2
𝑖
即得
𝑑 𝑥,𝑦 = 𝑑1 𝑥1,𝑦1 2+ 𝑑2 𝑥2,𝑦2 2
≤ 𝑑1 𝑥1,𝑧1 +𝑑1 𝑧1,𝑦1 2+ 𝑑2 𝑥2,𝑧2 +𝑑2 𝑧2,𝑦2 2
≤ 𝑑1 𝑥1,𝑧1 2+ 𝑑2 𝑥2,𝑧2 2+ 𝑑1 𝑧1,𝑦1 2+ 𝑑2 𝑧2,𝑦2 2 =𝑑 𝑥,𝑧 +𝑑 𝑧,𝑦
（3）注意到 max 𝑑+𝑏,𝑐+𝑑 ≤max 𝑑,𝑐 +max 𝑏,𝑑 即得
𝑥,𝑦 =max 𝑑1 𝑥1,𝑦1 ,𝑑2 𝑥2,𝑦2 𝑑
≤max 𝑑1 𝑥1,𝑧1 +𝑑1 𝑧1,𝑦1 ,𝑑2 𝑥2,𝑧2 +𝑑2 𝑧2,𝑦2 ≤max 𝑑1 𝑥1,𝑧1 ,𝑑2 𝑥2,𝑧2 +max 𝑑1 𝑧1,𝑦1 ,𝑑2 𝑧2,𝑦2
𝑥,𝑧 +𝑑 𝑧,𝑦 =𝑑
6、证明X中的基本列是有界点列。(P55.7)
证：设 𝑋,𝑑 为距离空间，点列 𝑥𝑛 𝑋，称为基本列，是指𝑑 𝑥𝑛,𝑥𝑚 →0 , 𝑛,𝑚 →0 ; 即 ∀ 𝜀>0 ,∃𝑁 𝜀 ，使得 𝑚 ,𝑛 ≥𝑁 𝜀 时，𝑑 𝑥𝑛,𝑥𝑚 <𝜀
而𝑑 𝑥𝑛,𝑥 ≤𝑑 𝑥𝑛,𝑥𝑁+1 +𝑑 𝑥𝑁+1,𝑥 <𝜀+𝑑 𝑥𝑁+1,𝑥 ≜M ∴ 𝑑 𝑥𝑛,𝑥 ≤M 令M0=max M,𝑑 𝑥1,𝑥 ,𝑑 𝑥2,𝑥 ,⋯,𝑑 𝑥𝑁,𝑥 ∴ ∀ 𝑛 ,𝑑 𝑥𝑛,𝑥 ≤M0+𝜀
所以结论成立
7、证明：若距离空间中的基本列有收敛子列，则原来的基本列必收敛。(P55.11)
证：设 𝑋,𝑑 为距离空间， 𝑥𝑛 为 𝑋,𝑑 的基本列，令 𝑥𝑛𝑘 为 𝑥𝑛 的一个收敛子列，且令
𝜀
𝑥𝑛𝑘 →𝑥0，由 𝑥𝑛 为基本列，知对于∀ 𝜀>0 ,∃𝑁1，当𝑛,𝑚≥𝑁1时，有𝑑 𝑥𝑛,𝑥𝑚 <2
由𝑥𝑛𝑘→𝑥0，知∀ 𝜀>0 ,∃𝑁2，当𝑛𝑘≥𝑁2时，有𝑑 𝑥𝑛𝑘,𝑥0 < 2
𝜀
令𝑁=max 𝑁1,𝑁2 ，则当𝑛,𝑛𝑘≥𝑁时有 𝑑 𝑥𝑛,𝑥0 ≤𝑑 𝑥𝑛,𝑥𝑛𝑘 +𝑑 𝑥𝑛𝑘,𝑥0 <2+2=𝜀 ∴ 𝑥𝑛→𝑥0
8、设𝑋=𝐑2，对𝒙= 𝑥1,𝑥2 ，𝒚= 𝑦1,𝑦2 ∈𝐑2，证明：(P78.1) 𝒙 1= 𝑥1 + 𝑥2
2 𝒙 2= 𝑥21+𝑥2 2 𝑝
𝒙 𝑝= 𝑥𝑝
1+𝑥2
1 𝑝
1
𝜀𝜀
𝑝>1
𝒙 ∞=max 𝑥1 , 𝑥2
均是X上的范数。
证：根据范数定义，显见以上四式均符合正定性和正齐性要求，现验证三角不等式 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 即可。
（1） 𝑥+𝑦 1= 𝑥1+𝑦1 + 𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥 1+ 𝑦 1
（2） 𝑥+𝑦 2= 𝑥1+𝑦1,𝑥2+𝑦2 2= 𝑥1+𝑦1 2+ 𝑥2+𝑦2 2 2 ≤ 𝑥1 2+ 𝑥2 2 2+ 𝑦1 2+ 𝑦2 2 2= 𝑥 2+ 𝑦 2 （3） 𝑥+𝑦 𝑝= 𝑥1+𝑦1,𝑥2+𝑦2 𝑝= 𝑥1+𝑦1 𝑝+ 𝑥2+𝑦2 𝑝 𝑝 ≤ 𝑥1 𝑝+ 𝑥2 𝑝 p+ 𝑦1 𝑝+ 𝑦2 𝑝 p= 𝑥 𝑝+ 𝑦 𝑝 （4） 𝑥+𝑦 ∞= 𝑥1+𝑦1,𝑥2+𝑦2 ∞≤max 𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 ≤max 𝑥1 , 𝑥2 +max 𝑦1 , 𝑦2 = 𝑥 ∞+ 𝑦 ∞
9、若 ∙ 和 ∙ 1是向量空间X上的等价范数，证明 𝑋, ∙ 中的Cauchy列也是 𝑋, ∙ 1 中的Cauchy列。(P79.11)
证：设 𝑥𝑛 为 𝑥, ∙ 的Cauchy列
∀ 𝜀>0 ,∃𝑁，当𝑚,𝑛>𝑁时，有 𝑥𝑛−𝑥𝑚 <𝜀 又 ∙ 和 ∙ 1为X上的两个等价范数
∴ ∃ 𝐶1,𝐶2>0 ,𝑠.𝑡. ∀ 𝑥∈𝑋 有𝐶1 𝑥 1≤ 𝑥 ≤𝐶2 𝑥 1
𝐶2 𝑥𝑛−𝑥𝑚 1≤ 𝑥𝑛−𝑥𝑚 ≤𝐶1 𝑥𝑛−𝑥𝑚 1 又 𝑥𝑛−𝑥𝑚 <𝜀
∴ 𝑥𝑛−𝑥𝑚 1<
𝜀𝐶2
1
1
1
1
1
1
∴ 𝑥𝑛 为 𝑥, ∙ 1 的Cauchy列
10、利用定义直接证明：R中的范数(P79.12) 𝒙 2= 𝑥1 2+ 𝑥2 2+⋯+ 𝑥𝑛 2 2 𝒙 ∞=max 𝑥1 , 𝑥2 ,⋯, 𝑥𝑛
是等价的。
证：∀ 𝑥= 𝑥1 ,⋯, 𝑥𝑛 ∈𝐑n 注意到
𝑥𝑗 ≤max 𝑥𝑗
1≤j≤n2
2
1
n
显然有
𝑥 ∞=max 𝑥1 ,⋯, 𝑥𝑛 ≤ 𝑥1 2+⋯ 𝑥𝑛 2 2= 𝑥 2
≤ 𝑛∙max 𝑥1,⋯, 𝑥𝑛
2
2 21
1
= 𝑛 ∙max 𝑥1 ,⋯, 𝑥𝑛 = 𝑛∙ 𝑥 ∞ 即 𝑥 ∞≤ 𝑥 2≤ 𝑛∙ 𝑥 ∞ 所以是等价的。
11、证明：在内积空间中，𝑥⊥𝑦的充分必要条件是对任何α， 𝑥+𝛼𝑦 ≥ 𝑥 。(P79.18)
证： 𝑥+𝛼𝑦 2= 𝑥+𝛼𝑦,𝑥+𝛼𝑦
= 𝑥,𝑥 +𝛼 𝑦,𝑥 +𝛼 𝑥,𝑦 +𝛼𝛼 𝑦,𝑦
= 𝑥 2+𝛼 𝑥,𝑦 +𝛼 𝑥,𝑦 +𝛼𝛼 𝑦 2 𝛼𝛼= 𝛼 2≥0 若 𝑥 𝑦，则 𝑥,𝑦 =0，于是有
𝑥+𝛼𝑦 2= 𝑥 2+𝛼𝛼 𝑦 2≥ 𝑥 2
即 𝑥+𝛼𝑦 ≥ 𝑥
若 ∀ 𝛼，有 𝑥+𝛼𝑦 ≥ 𝑥 ，则有
𝑥+𝛼𝑦 2= 𝑥 2+𝛼 𝑥,𝑦 +𝛼 𝑥,𝑦 +𝛼𝛼 𝑦 2≥ 𝑥 2
特别取
𝑥,𝑦 𝛼=−
𝑦 2 代入上式有
𝑥,𝑦 𝑥,𝑦 𝑥,𝑦 2−=−≥0
𝑦 2 𝑦 2
𝑥,𝑦 2=0 𝑥,𝑦 =0 即𝑥 𝑦 。
12、设A与B是内积空间的非空子集，且𝐴 𝐵，证明：(P79.20) （1）𝐵 𝐴；
（2） 𝐴 =𝐴。 证：（1）∀ 𝑥∈𝐵，有𝑥 B，又∵𝐴 𝐵 ,∴𝑥 𝐴 ∴𝑥∈𝐴 综上可知 𝐵 𝐴
（2）𝑥∈𝐴 𝑥 𝐴 𝑥∈ 𝐴 𝐴 𝐴
由(1) 𝐴 𝐴，再由𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 故 𝐴 =𝐴
13、对𝑥∈𝐶 𝑎,𝑏 ，令𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑑𝑡，则∀ 𝑥,𝑦∈𝐶 𝑎,𝑏 ，有 𝑎 𝛼𝑥 𝑡 +𝛽𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝛼𝑥+𝛽𝑦 = 𝑎 =𝛼 𝑥 𝑡 𝑑𝑡+𝛽 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑎 =𝛼𝑓 𝑥 +𝛽𝑓 𝑦 故f是𝐶 𝑎,𝑏 上的线性泛函。由于
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥𝑡𝑑𝑡≤ 𝑎𝑥𝑡𝑑𝑡
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
b
𝑏
≤max 𝑥 𝑡 𝑑𝑡= 𝑏−𝑎 𝑥
𝑎≤𝑡≤𝑏
𝑎
故f是𝐶 𝑎,𝑏 上的线性有界泛函。
14、求通过𝑓 𝑥 = −1𝑥𝑡𝑑𝑡− 0𝑥𝑡𝑑𝑡，定义的𝐶−1,1上的线性泛函f的范数。 解： 显见f是𝐶 −1,1 上的线性泛函。
∀ 𝑥∈ −1,1 ，有
𝑥 𝑡 ≤ 𝑥 ∞ ,𝑡∈ −1,1
𝑓 𝑥 = −1𝑥 𝑡 𝑑𝑡− 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 0
0−1
10
0
0
1
0
1
≤ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡+ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡
10
≤max 𝑥 𝑡 𝑑𝑡+ 𝑑𝑡 =2 𝑥
𝑡∈ −1,1
−1
故 𝑓 ≤2。另一方面，取𝑥𝑛∈𝐶 −1,1 ，且 𝑥𝑛 =1，xn定义为
1
1𝑡∈ −1,− 𝑛
11
𝑥𝑛 𝑡 =−𝑛𝑡𝑡∈ −,
𝑛𝑛
1
−1𝑡∈,1 𝑛对任何n，𝑥𝑛∈𝐶 −1,1 ， 𝑥𝑛 ∞=1，且
1
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 𝑡 𝑑𝑡− 𝑥𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =2−
𝑛−10
由
𝑓 =sup 𝑓 𝑥
𝑥 =1
0
1
𝑓 =sup 𝑓 𝑥 ≥sup 𝑓 𝑥𝑛 =2
𝑥 =1
𝑛≥1
所以 𝑓 =2。
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