第13章 静电场中的导体
和电介质
P70．
13．1 一带电量为q，半径为rA的金
属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将
A和B连接起来，则
A球的电势为多少？（设无穷远处电势为
零）
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高
斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为
E=
q4πε
0r
2
．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q
时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为
U=
q4πε．
0rc
13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别
为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的
电场强度和电位移是轴对称分布的．在
内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面
包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．
设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
Φd=Ñ⎰S
D⋅dS
=⎰SD⋅dS+⎰D⋅dS+⎰D⋅dS=2πrlD，
S1
S2
可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外．
13．3 金属
球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球
心为r处有一点电
荷q，求球心o的电
势为多少？
图14.3
[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
U1
o=
q1-q1Q+q
4πε++
0r4πε0a4πε0b
13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，
忽略边缘效应．求
（1）B、C
板上的电荷为多少？
图14.4
（2）A板电势为多少？
[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为
q1 = σ1S和q2 = σ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C间的场强为
E2 = σ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ②
即 σ1d1 = σ2d2． ③
解联立方程①和③得
σ1 = qd2/S(d1 + d2)，
所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，以 ε0 = 10-9/36π，
因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以
所
UA = ΔU = 452.4(V)．
13．5 一无限大均匀带电平面A，带
电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1 + q2 = 0． ①
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为
E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生
P
的场强向左，取向右的方向为正，可得
图14.5
E1 - E2 – E = 0，
即 σ1 - σ2 – σ = 0，
或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为
120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接
地，所以σ图14.6
1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．
由于两板带等量异号的电荷，所以
σ2 = -σ3．
两板之间的场强为
E = σ3/ε0，
而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为
σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间
电容可用公式C=4πε0R2
RR表示．
2-1
（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在
外球外面再接一个
半径为R3大外球
壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为
C1
121=4πε0
1/R1/R=4πεRR0
1-2R2-R1
外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电
容为
C2=4πε1
1/R．
2-1/R3
外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 C=CR2
1+C2=4πεR10
R+4πε0R2
2-R1
=4πε2
0R2R． 2-R1
方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
qq`4πε+
0R2
4πε=0，
0R1
因此感应电荷为
q`=-
R1
Rq． 2
根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
E=
q`4πε2=-R1q2
， 0r4πε0R2r
负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
R1
R1
U=
l=R⎰E⋅d2
R⎰Edr
2
R1
=
-
R1q
R⎰(2
4πε2
)dr 0R2r
=
R1q4πε(1-1
)=(R2-R1)qR2
0R2R1R24πε02
球面间的电容为
C=qU=4πε2
0R2
R．
2-R1
13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？
[解答]球形电容器的电容为
C=4πε1
-1/R=4πεR1R20
1/R0．
12R2-R1
对于半球来说，由于相对面积减少了一
半，所以电容也减少一半：
Cπε0R1R2
1=
2R．
2-R1
当电容器中充满介质时，电容为：
C2πε0εrR1R2
2=
RR．
2-1
由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
C=C2πε0(1+εr)R1R2
1+C2=
R．
2-R1
13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在
两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电
容分别为
C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为
1=1+1
=d1+d2=ε2d1+ε1d2CCε， 1C2ε1Sε2Sε12S
总电容为 C=ε1ε2S
ε．
2d1+ε1d2
13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E、电位移D； （3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中
的电场强度和电位移是轴对称分布
的．在内外半径之
间作一个半径为r、
长为l的圆柱形高
斯面，侧面为S0，上下两底面分别为
S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
Φd=Ñ⎰S
D⋅dS
=⎰SD⋅dS+⎰D⋅dS+1
⎰SD⋅dS=2πrlD，
S2
高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
R2
U=⎰E⋅dl=⎰Edr⎰λ
L
L
=
dR1
2πεrr =
λ
2πεlnR2R． 1
电容为 C=
q2πεl
U=
ln(R． 2/R1)
在真空时的电容为
Cq
2πε0l0=
U=
ln(R， 2/R1)
所以倍数为C/C0 = ε/ε0．
13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：
（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．
[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为
Φd=蜒⎰SD⋅dS=
⎰
S
DdS=4πr2D
高斯面包围的自由电荷为q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q，= Q0/4πr2， 方向沿着径向．用矢量表示为
D = Q0r/4πr3．
电场强度为
E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3， 方向沿着径向．
由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = (1-
1
可得电位为 D
ε)
Q0r
r
4πr
3
． 在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以
D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为
E0 = Q0r/4πε0r3；
极化电荷q1`产生的场强为
E` = q1`r/4πε0r3；
总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3． 由于 E = E0 + E`，
解得极化电荷为 q`=(11ε-1)Q0，
r
介质层内表面的极化电荷面密度为
`q`σ1
=14πR2=(1
-1)
Q0． 1εr4πR2
1在介质层外表面，极化电荷为
q``2=-q1，
面密度为
σ`q`212
=4πR2=(1-ε)Q0
2
． 2r4πR2
13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？
[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为
W1:W2 = C2:C1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为
W1:W2 = C1:C2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？
[解答]平行板电容器的电容为
C = ε0S/d，
当面积减少一半时，电容为C1 = ε0S/2d； 另一半插入电介质时，电容为C2 = ε0εrS/2d．
两个电容器并联，总电容为
C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d，
静电能为
W = CU2/2 = (1 + εr)ε0SU2/4d． 13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板
充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：
（1）电容器的电容C；
（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．
[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为
C = (1 + εr)ε0S/2d． （2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量
为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为
W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；
介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d． 设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则
Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以
U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得
QC1Q
0U1=
CC+C=
C， 121+2/C1
真空中一半电容器的自由电荷面密度为
σQ1
C0U2ε0U1=
2S/2=(1+CC=
． 2/1)S(1+εr)d
同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为
σC0U2ε0εrU
2=
2(C=
． 1/C2+1)S(1+εr)d
13．15 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V的电源相连．求：
（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？
（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？
[解答]平行板电容器的电容为
C0 = ε0εrS/d，
静电能为 W0 = C0U2/2． 玻璃板抽出之后的电容为
C = ε0S/d．
（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2， 电能器能量变化为
ΔW = W - W0 = (C - C0)U2/2 = (1 - εr)ε0SU2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C0U， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为
W = Q2/2C，
电能器能量变化为
∆W=W-WC0C0U2
0=(C-1)
2
=(εεrSU2
r-1)
ε02d
= 1.59×10-4(J)．
13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半
储存在半径R=
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r，ε0E2/2， 体积元为 dV = 2πrldr， 能量元为 dW = wdV．
在半径a到R的圆柱体储存的能量为
W=⎰wdV=⎰
ε0
V
V
2
能量密度为 w = E2dV
R
=⎰λ2lλ2la
4πεdr=lnR．
0r4πε0a当R = b时，能量为Wλ2lb1=4πεln；
0a
当R=
Wλ2lλ2lb
2=4πε=ln，
08πε0a
所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存
在半径R=
13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：
（1）在半径为r(a < r < b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？
（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？
（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？
[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l，
根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl，
场强为 E = D/ε = Q/2πεrl， 能量密度为w = D·E/2 = DE/2 = Q2/8π2εr2l2．
薄壳的体积为dV = 2πrldr， 能量为 dW = wdV = Q2dr/4πεlr．
（2）电介质中总能量为
b
W=⎰dW=⎰Q2Q2b
a
4πεlrdr=4πεllna．
V（3）由公式W = Q2/2C得电容为
C=Q22πεl
2W=
ln(b/a)
．
13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？
[解答]当两个电容串联时，由公式
111C2+C=C1
C+C=
， 12C1C2
得 C=
C1C2
C=120PF．
1+C2
加上U = 1000V的电压后，带电量为
Q = CU，
第一个电容器两端的电压为
U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；
第二个电容器两端的电压为
U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．
由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．
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