关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计

摘 要

向量组线性相关性在线性代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识。本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。

正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性，才引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。使用了这些概念，不仅可以圆满地解决线性方程组的问题，还使我们更深刻地认识了线性方程组。同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。在判定向量组线性相关性的问题上，我们可以通过构造线性方程组，在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。

向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论，在现实世界中，有着深入的广泛应用。三角网格自适应loop细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平面的原理，提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法，即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦，从而进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上，当这些向量组成的行列式值趋于零时，便认为它们在同一平面上。实验表明，该方法减少了细分的数据量和处理速度。

关键词：向量组；线性相关；行列式；判定方法；矩阵；克莱姆法则；线性方程组等。

Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors

Group Abstract

The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstone,the basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method allows us to better understand the other theories.This article from the Vector Group,introduced the definition of a linear correlation to proceed,and then discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For example,the definition of the use of linear correlation,the value of the determinant,rank of matrix,homogeneous solution of linear equations,Cramer's rule applied to vector groups,such as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application.

Is to study solutions of linear equations existence and uniqueness of before the introduction of such a linear correlation,rank,and so a great group of linearly independent basic concepts.The use of these concepts can not only complete solution to the problem of linear equations,but also gives us a deeper understanding of the system of linear equations.At the same time,a way to build a linear vector method to determine the relevance of the bridge,so that conversion between each other.Linear vector in the determination of the relevance of the issue,we can structure the linear equations,solving linear equations in the process of vector can be linear or not the conclusions of the relevant.

Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theory,in the real world, with extensive use of depth.A new adaptive subdivision scheme is presented based on the principle which is that three composed of every three adjacent vectors from a vertex of triangle mesh is computed to verify whether they are

coplanar.If the determinate value is approximately equal to zero,the surface surrounding that vertex can be considered as fairly flat and the corresponding triangle needn’t be subdivided. Such an approach can cut down the amount of subdivisions during refining a mesh model and effectively accelerate the processing speed.

Key words:Vectors group;Related dependence;Determinant;Judging method;Matrix;Cramer rule;Solution of system of linear equations

- 1 -

目 录

引 言............................................................................................................................1 第1章 绪论.......................................................................................................................2 第2章 向量组线性相关性的定义...................................................................................3 2.1向量组线性相关性的定义…………………………………………………….3 2.2小结…………………………………………………………………………….8 第3章 向量组线性相关的判定方法……………………………………………………9 3.1定义法………………………………………………………………………….9 3.2利用向量组内向量之间的线性关系判定…………………………………….9 3.3利用齐次线性方程组的解进行判定………………………………………….10 3.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性………………………………………10 3.5利用行列式的值来判定向量组线性相关性………………………………….13 3.6 反证法………………………………………………………………………..15 3.7利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定………………………...16 3.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性…………………………..16

3.8.1 引言……………………………………………………………………16 3.8.2 预备知识………………………………………………………………17 3.9 方程组法…………………………………………………………………….21 3.10 数学归纳法…………………………………………………………………22 3.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法…………………………23 第4章 向量组线性相关的具体应用………………………………………………….25 4.1 引言…………………………………………………………………………..25 4.2 Loop细分模式………………………………………………………………..26 4.3 自适应细分曲面……………………………………………………………..27

4.3.1向量相关性的几何意义………………………………………………..28 4.3.2 顶点平坦度……………………………………………………………28 4.3.3 算法的具体步骤………………………………………………………28 4.4 实验结果与分析……………………………………………………………..30 4.5 结论…………………………………………………………………………..31 结论与展望……………………………………………………………………………...32 致 谢………………………………………………………………………………...33 参考文献………………………………………………………………………………...34 附录A 外文文献及翻译……………………………………………………………….35 附录B 主要参考文献的题录及摘要 ............................................................................. 46

- 2 -

插图清单

图4-1 loop细分模式模板示意图 ························································ 22 图4-2 三维空间中3个向量线性相关 ·················································· 23 图4-3 顶点平坦度定义的示意图 ························································ 24 图4-4 三角形分裂的4种情况 ··························································· 26

- 3 -

表格清单

表4-1 两种方法的实验结果对比 ························································ 27

- 4 -

引 言

向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用。它与矩阵、线性方程组构成一个整体并且可以实现相互转化。若一个向量组线性相关则意味着在线性方程组中有一个方程可以由其他的方程线性表示。现实世界中往往需要我们分辨判别不同事物的关系，这就是需要我们将待考察的不同事物抽象为不同的向量或是不同的方程——构成向量组或是方程组，研究它们之间的相关性。

在统计学中，我们已经将向量组的线性相关性的思想应用到实处。相关分析就是一种统计分析方法，它是对客观存在的具有相互联系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用以表达现象间的平均数量变化关系。线性相关分析在探讨不同类型的糖代谢紊乱与老年危重病人APACHEⅡ评分中得到较深的应用，利用向量线性相关找到了三角网格自适应loop的细分方法，同时在化学、物理、建筑、经济、管理、计算机应用等各领域也都有着广泛的应用，且难度相对于其他数学分支低一些，为人们解决实际问题提供了有利的判断依据。随着科学技术的不断发展，随着数学知识与其他学科结合的不断深化，向量组线性相关性的理论必将深入到我们的日常生活中。为此，我们应当熟练的掌握判定向量组线性相关性的判定方法。

关于向量组线性相关性的判定方法，我们可以利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，从而给出若干种关于线性相关与线性无关的判定方法。向量组的线性相关性反映的是线性方程组中方程间的线性表示，即是否存在可删去的方程。而向量组的一个极大无关组，则反映了由线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。那么矩阵的秩(或者行向量组的秩)就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。

- 5 -

第1章 绪 论

线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何、高等代数和常微分方程中等等。它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基、微数)、子空间等概念有密切关系，同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用。因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决问题的重要的理论根据。向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关。

在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识，理清线性代数的框架，做到融会贯通。

本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法，从定义及性质下手，熟悉了一些重要理论，从而能在各领域中得到更好的运用。本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论，熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质。而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法，比较了不同判定方法的优劣及适用范围，并给出了一些详细证明，附带了一些证明题和例题，从而能更深刻地熟悉这些理论知识。第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用。而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献。

- 6 -

第2章 向量组线性相关性的定义

2.1 向量组线性相关性的定义

定义2.1 给定向量组A:a1,a2,,am，如果存在不全为零的数k1,k2,,km，使

k1a1k2a2kmam0 (2-1)

则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。

说向量组a1,a2,am线性相关，通常是指m2的情形。但上述定义也适用于m1的情形。当m1时，向量组只含有一个向量，对于只含一个向量a的向量组，当a0时是线性相关的，当a0时是线性无关的。对于含2个向量a1,a2的向量组，它线性相关的充分必要条件是a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线。3个向量线性相关的几何意义是三向量共面。

向量组A:a1,a2,am(m2)线性相关，也就是在向量组A中至少有一个能由其他m-1个向量线性表示。这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2,,km，使(2-1)式成立。因k1,k2,,km不全为0，不妨设k10，于是便有

a11(k2a2kmam)， k1即a1能由a2,am线性表示。

如果向量组中有某个向量能由其余m1个向量线性表示，不妨设am能由

a1,am1线性表示，即有1,m1使am1a12a2m1am1，于是

1a1m1am1(1)am0

因为1,,m1,1这m个数不全为0(至少10)，所以向量组是线性相关的。 向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组是线性相关的；当方

- 7 -

程组中没有多余方程，就称该方程组线性无关。

向量组A:a1,a2,am构成矩阵A(a1,a2,,am)，向量组A线性相关，就是齐次线性方程组

x1a1x2a2xmam0，即Ax0有非零解。

2.2 小结

只有充分理解了向量组线性相关的定义，我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的，并比较不同的判定方法的适用条件。

8

第3章 向量组线性相关的判定方法

3.1 定义法

这是判定向量组的线性相关性的基本方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组，也适用于分量已经给出的具体向量组。其定义是，给定向量组A:a1,a2,,am，如果存在不全为零的数k1,k2,,km，使k1a1k2a2kmam0，则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。也就是说，只有当k1,k2,,km都为0时，

k1a1k2a2kmam0才成立，则称向量组A是线性无关的。

[1]

例3.1：设b1a1a2,b2a2a3,b3a3a4,b4a4a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线性相

[1]

关。

证明：设存在4个数k1,k2,k3,k4,使得k1b1k2b2k3b3k4b40 将b1a1a2,b2a2a3,b3a3a4,b4a4a1代入上式有：

k1(a1a2)k2(a2a3)k3(a3a4)k4(a4a1)0，

(k1k4)a1(k1k2)a2(k2k3)a3(k3k4)a40，取k1k31,k2k41，则有

k1b1k2b2k3b3k4b40

由向量组线性相关的定义可知，向量组b1,b2,b3,b4线性相关。 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定

即向量组A:a1,a2,,am线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m1个向量线性表示。

比如上例，取k1k31,k2k41，则b1b2b3b4，即b1可由b2,b3,b4三个向量线性表示，所以向量组b1,b2,b3,b4线性相关。这种判定方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行判定的。

[1]

9

3.3 利用齐次线性方程组的解进行判定

在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性。即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。

对于各分量都给出的向量组A:a1,a2,,am，若以A(a1,a2,a3,am)为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0有非零解向量，则此向量组A:a1,a2,,am是线性相关的。若以

A(a1,a2,a3,am)为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0只有零解向量，则此向量组A:a1,a2,,am是线性无关的。例如：

例3.2：证明向量组a1(2,1,0,5),a2(7,5,4,1),a3(3,7,4,11)线性相关。

[1]

证明：以a1,a2,a3为系数向量的齐次线性方程组是x1a1x2a2x3a30，即

2x17x23x30x5x7x0123 4x4x0325x1x211x30利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，即

327157(2)r1r2157273rr(5)r1r212A04404451115111157157157r3r201717011011r4r2 04401100002424011000由行阶梯型矩阵可知，R(A)23，即齐次线性方程组有非零解，所以向量组

a1,a2,a3线性相关。

1r2171r341r4243.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性

设向量组A:a1,a2,,am是由m个n维列向量所组成的向量组，则向量组的线性相

10

关性可由向量组所构成的矩阵A(a1,a2,a3,am)的秩的大小来判定。即 (1) (2)

当R(A)m时，则向量组A:a1,a2,,am是线性无关的。 当R(A)m时，则向量组A:a1,a2,,am是线性相关的。

[1]

主要结论：

我们将向量a1,a2,,an已行排成矩阵

Ta1TaAT2B (为阶梯型矩阵)

...aTn于是有如下结论：

定理3.1 向量组a1,a2,,an线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行。

[1]

证明：阶梯型矩阵中出现零行；矩阵AT的秩R(AT)n；R(A)R(AT)n；齐次线性方程组a1x1a2x2anxn0有非零解；向量组a1,a2,,an线性相关。 推论3.1 向量组a1,a2,,an线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行。

[1]

对矩阵AT进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程，其实就是对a1,a2,,an进行向量的线性运算。如果中出现零行，则向量组a1,a2,,an中一定有某个向量能被其余的

n1个向量线性表示，从而知向量组a1,a2,,an是线性相关的；反之，如果B中没有零行，则向量组a1,a2,,an中没有任何一个向量能被其他的n1向量线性表示，从而知

a1,a2,,an是线性无关的。

例3.3：判断向量组a1(1,3,4,7,5),a2(2,4,5,3,2),a3(4,6,7,5,3)的线性相关性。

[1]

解：将a1,a2,a3以行排成矩阵

5a1134751347Aa224532023118

a46753000013矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行，则a1,a2,a3中每个向量都不能被剩下的向量线性

11

表示，故由推论知，向量组a1,a2,a3是线性无关的。

我们注意到，定理中的矩阵AT 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定a1,a2,,an中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示，从而知向量组a1,a2,,an线性相关。 例3.4：判定向量组

[1]

a1(1,3,2,1,5),a2(2,2,4,6,9),a3(1,1,2,7,4),a4(1,3,5,9,5)的线性相关性。

解：将a1,a2,a3,a4以行排成矩阵

a113215132a224692040Aa311274000a1359513541581 0095所以，矩阵A经过初等行变换后出现了零行，则a1,a2,a3,a4中必有一向量可以由其余的向量线性表示，故向量组a1,a2,a3,a4是线性相关的。

推论3.2 如果向量组a1,a2,,an中含有零向量，则向量组a1,a2,,an是线性相关的。 推论3.3 如果向量组a1,a2,,an中有个部分组ak1,ak2,,akm，(其中

ki1,2,,n,i1,2,,m,mn)线性相关，则向量组a1,a2,,an也一定线性相关。 例3.5：设a1(1,1,1)T,a2(1,2,3)T,a3(1,3,t)T，问当t为何值时，向量组a1,a2,a3线性相关，并将a3表示为a1和a2的线性组合。 解：利用矩阵的秩有

111111111Aa1,a2,a3123012012

13t02t100t5可见，当t5时，向量组a1,a2,a3线性相关，并且有

111101A012012，所以a3a12a2

000000 12

利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定。 3.5 利用行列式的值来判定向量组线性相关性

若向量组A:a1,a2,,am是由m个m维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵A(a1,a2,a3,am)，即A为m阶方阵，则

(1)当A0时，则向量组A:a1,a2,,am是线性相关的。 (2)当A0时，则向量组A:a1,a2,,am是线性无关的。 若向量组A:a1,a2,,am的个数m与维数n不同时，则 (1)当mn时，则向量组A:a1,a2,,am是线性相关的。

(2)当mn时，转化为上述来进行判定，即选取m个向量组成的m维向量组，若此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的。

1[1]

02例3.6：已知a11,a22,a34，试讨论a1,a2,a3的线性相关性。

157102证明：令A(a1,a2,a3)，则A1240，所以a1,a2,a3线性相关。

157行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定。

例3.7：已知向量组A:a1,a2,a3是线性无关的，且有b1a1a2,b2a2a3,b3a3a1，

[1]

证明向量组b1,b2,b3线性无关。

证明一：设有x1,x2,x3，使得b1x1b2x2b3x30，即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0，整理为(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30

13

x1x30因为a1,a2,a3是线性无关的，所以x1x20，由于此方程组的系数行列式

xx02310111020，故方程组只有零解x1x2x30，所以向量组b1,b2,b3线性无关。 011证明二：将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

101(b1,b2,b3)(a1,a2,a3)110

011记作BAK。设Bx0，以BAK代入A(Kx)0。因为矩阵A的列向量组线性无关，所以可推知Kx0。又因为K20，知方程Kx0只有零解x0，所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。

101证明三：将已知条件可以写为(b1,b2,b3)(a1,a2,a3)110

011记做BAK，因为k0，所以k可逆，由矩阵的秩的性质可知R(A)R(B)，且R(A)3，由此R(B)3，所以B的三个列向量线性无关。

123n13n例3.8：设2，证明向量组a1,a2,,an与1,2,,n等价。

n12n1011101，设为 证明：(1,2,,n)=(a1,a2,,an)110因为k(n1)(1)n10，故是可逆矩阵，1，故A，B等价。

例3.9：已知3阶矩阵与三维列向量x满足3x3x2x，且向量组x,x,2x线性无关。

(1)记(x,x,2x)，求三阶矩阵，使。

14

(2)求的值。

解：(1)因为(x,2x,3x)(x,2x,3x2x)

000000(x,x,2x)103，然后可以得到103，使得。

011011(2)因为得到了，且(x,x,2x)，而向量组x,x,2x是线性无关的。故P是可逆的。1，所以10

3.6 反证法

在有些题目中，直接证明结论常常比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一

些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而结论的反面不成立，即结论成立。此方法是数学中常用的证明方法，欲证命题真，先假设命题假，导出矛盾，从而原命题得证。

例3.10：设向量组A:a1,a2,,am中任一向量ai不是它前面i1个向量的线性组合，且

ai0，证明向量组A:a1,a2,,am是线性无关的。

证明：(反证法)假设向量组A:a1,a2,,am线性相关，则存在不全为零的m个数

k1,k2,k3,km，使得k1a1k2a2kmam0

由此可知，km0，否则由上式可得amkk1ka12a2m1am1 kmkmkm即am可由它前面m1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km0

k1a1k2a2km1am10

类似于上面的证明，同理可得km1km2k3k20，最后得到k1a10 因为ai0，所以k10，但这又与k1,k2,k3,km不全为0相矛盾。 因此向量组A:a1,a2,,am是线性无关的。

15

3.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定

线性空间V中向量组a1,a2,a3ar线性相关的充要条件是它们的象

(a1),(a2),(a3)(ar)线性相关。

因为由k1a1k2a2krar0可得k1(a1)k2(a2)kr(ar)0

反过来，由k1(a1)k2(a2)kr(ar)0可得(k1a1k2a2krar)0。 因为是11的，所以只有(0)0， 所以k1a1k2a2krar0。

3.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性 3.8.1 引言

在线性空间中，极大线性无关组的概念是一个重要的概念，求极大线性无关组也就成为一个重要内容之一。目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大的，故一般不采用此法。在按矩阵的初等变换法来求时，如果对变换不加限制则将导致错误。

事实上，我们都知道对矩阵进行一次行换法变换，相当于对它连续进行几次行消法变换和倍法变换。因此在对矩阵直接作行消法变换的过程中，其结果可能对矩阵作了行的换法变换。 例3.11：对下面的矩阵施行一系列的行消法变换(将第二行加到第四行,再将第四行的-1倍加到第二行)，得矩阵:

[2]

[2]

10A0000011000010000000001100001001000000000B

010100在此变换中，虽然没有直接交换矩阵A中的第一、二行位置，但可明显的看到，在最后的结果中，已将第一、二行交换了位置。因此，如果因为矩阵的行向量组的极大无关组由第一行、第三行与第四行的行向量构成，就得出结论说的行向量组的极大线性无关组也对应地为第一行、第三行与第四行构成的向量组a1,a3,a4，这显然是错误的。

上例说明，在利用矩阵求极大线性无关组时，如果对行的变换不加限制或仅仅是避免直接作行的换法变换，则不能断定中的极大线性无关组就是对应于矩阵的极大无关组。其实，这个问题的解决，只要对行变换作一点限制即可。

16

3.8.2 预备知识

以V(,n)表示数域P上一个n维线性空间，nx1,x2,xnxi。设a1,a2,,an是V(,n)的基，aV(,n)，则a可由a1,a2,,an线性表示：

ax1a1x2a2xnan

现作一个从V(,n)到n的映射：:V(,n)n，a(x1,x2,,xn)， 易证，上述映射是一个同构映射。

由于同构映射保持线性关系，故对于向量组V(,n)中的向量组a1,a2,as，其部分组ai1,ai2,,air是极大线性无关组的充要条件是它们在n中的象(ai1),(ai2),(air)是极大无关组。所以，求线性空间V(,n)中的极大无关组就可以转化为求n中的极大无关组。故我们只须考虑在n中求极大无关组的问题。

定义3.1 一个矩阵中每个非零行的首元素(指该行左起第一个非零元素)出现在上一行首元素的右边，同时元素全为零的行在下面，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。 3.8.3 主要结果

[2]

定理3.2 设1,2,s与1,2,s是n中的两个向量组，其中

[2]

11k22112kkk (3-1)

ll11l22l(l1)l1lssks11ks22ks(s1)s1kij,i2,3,,s,l1,2,,s1.如果i10,i20,ir0,则在向量组1,2,s中去

掉零向量后剩余的向量j1,j2,,jsr与相应的向量j1,j2,,jsr等价。 证明：1)显然j1,j2,,jsr与1,2,s等价。

2)由(3-1)式知1可由1表示，2可由1,2线性表示，依此类推知，k可由

1,2,k线性表示(2ks)，所以1,2,s与1,2,s等价。

17

3)因为i10,i20,ir0,所以由(3-1)式有下式

i1i2irki111ki122ki1(i11)i11ki211ki222ki2(i21)i21kir11kir22kir(ir1)ir1

上式说明向量组1,2,,s中的部分组i1,i2,,ir都可以由它前面的向量线性表示，所以1,2,,s可由j1,j2,,jsr线性表示，于是1,2,,s与j1,j2,,jsr等价。由等价的传递性可知，j1,j2,,jsr与j1,j2,,jsr等价。

定义3.2 将矩阵某一行的一个倍数加到该行下面的另一行，称这种变换为下消法变换。

由定义3.2，定理3.3可表述为：

定理3.3 若对一个矩阵施行若干次的下消法变换化为矩阵，则的所有非零行向量与中对应位置的行向量等价。

特别注：若的非零行构成极大线性无关组，那么对应A中行也构成极大线性无关组。 定义3.3 如果一个矩阵只需经若干次换行变换就成为阶梯形矩阵，则称为拟阶梯形矩阵。

定理3.4 任意一个矩阵必定可以用下消法变换为拟阶梯形矩阵。

[2][2][2][2]

a11a12a21a22证明：令Aas1as2a1na2n

asn设的第一列元素11,21,,s1 中第一个不为零的元素为ai11则可用下消法变换使的第一列元素中位于ai11下方的元素统统变为零。这时变成如下的矩阵

00Aai1100a12a(i11)2ai12a(1)(i11)2a(1)s2a13a(i11)3ai13a(1)s3a(i11)nai1nA(1)

a(1)(i11)na(1)sna1na(1)(i11)3若的第一列元素全为零，则仿上法考虑第二列元素。

对于矩阵A(1)，考虑第2列元素。设自上而下第一个不为零的元素为ai22。若i1i2，

18

则可用下消法变换将ai22下方的元素统统变为零。若在第二列元素中除了第i1 行的元素外全为零则考虑下一列元素。这时A(1)变成如下的形式：

0000A(1)0ai110000ai2200000a1n00*ai21n00*ai2na**i2100*(1)或A* ai11n00*00*ai1n00**00**依此类推，考虑第三列，第四列，，第n列。设在第n列中自上而下第一个不为零且又不位于i1行，i2行，，in1的元素为ainn，则可用下消法变换将位于第n列的ainn下方的元素全部变为零。这时的矩阵变为

0000 A0ai110000ai220000000* (3-2) ainn000如果在此列中除去i1，i2，，in1行的元素以外，其余的全为零则终止作变换。这时的矩阵为如下的形式：

19

00ai110(1)A000000ai2200*000 (3-3)

00000000无论(3-2)或(3-3)都是拟阶梯型的矩阵。因为只要将ai11, ai22，，ainn所在行的元素分别移至第一行，第二行，，第n行，所得矩阵就是阶梯形矩阵。

由此，我们得到下面的重要定理：

定理3.5 若将矩阵作下消法变换化为一个拟阶梯形矩阵B，则中对应于的非零行就的极大无关组。

证明：因为在拟阶梯形的矩阵中非零的行即为极大线性无关组，由定理2的特别注知B 的极大无关组对应的就是的极大无关组。

[2]

例3.12 在5中，求向量组1(0,0,2,0,1),2(1,5,0,6,2),

[2]

3(2,10,4,11,0),4(1,5,2,1,1),5(3,15,0,14,8)的极大无关组。

解：以该向量组为行作成如下的一个矩阵，并对A作下消法变换：第二行的-2倍加到第三行；第二行加到第四行；第二行的-3倍加到第五行

002010020100201150621506215062A21041100041400016

15211002530005231501480004200042100201002015062156020001600016 00002800002800002600000矩阵是一个拟阶梯形矩阵。 因为只需要将的第二行换至第一行，第一行换至第二行，其余的行不变，则得下面的阶梯形矩阵

20

215600020100016C 00002800000最后一个矩阵C是一个阶梯形的矩阵，它是由矩阵经适当换行变换而得。按定义是一个拟阶梯形矩阵。由定理5知，相应于的非零行，的行为第一行，第二行，第三行，第四行。故所求极大线性无关组为1,2,3,4。 3.9 方程组法

方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题。

对于各分量都给出的向量组1,2,,s线性相关的充要条件是以1,2,,s的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。

例3.13 讨论向量组1(2,1,1,1),2(0,3,2,0),3(2,4,3,1)的线性相关性。

[7]

2k12k30k3k4k0123解：以1,2,3为系数的齐次线性方程组

k12k23k30k1k30解得之，k1k3,k2k3，即k1k21,k31是方程组的一组非零解，故1,2,3线性相关。

例3.14 论1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

[7]

(1) 当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？ (2) 当t为何值时，向量组1,2,3 线性相关？

(3) 当向量组1,2,3线性相关性，将3表示为1和2的线性组合。 解：设有实数x1,x2,x3使x11x22x330，则得方程组

111x1x2x30x12x23x30，其系数行列式D123t5 x3xtx013t231

21

(1)当t5时，D0，方程组只有零解，x1x2x30，这时向量组1,2,3线性无关。 (2)当t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的数x1,x2,x3，使

x11x22x330,此时1,2,3线性相关。

111101x1x30(3)当t5时，由123012有

135000x22x30令x31得x11，x22，因此有12230，从而3122。 3.10 数学归纳法

此方法，即数学中常用的数学归纳法。

例3.15 设线性无关的向量组:1,2,,m可由向量组:1,2,,t线性表示，且

[4]

mt，则可从中选出(tm)个向量组j1,j2,,j(tm)，使得向量组C:1,2,,m,j1,j2,,j(tm)与向量组等价。 证明：用数学归纳法 (1)

当m1时，有mt，由于1kjj，且10，则k1,k2,,kt不全为零，

j1t在中设k10，1kk1122tt，故1,1,2,,t与1,2,,tk1k1k1(2)

等价。

设ms1时结论成立，推证ms时结论成立。

由于1,2,,s1,1,2,,t与向量组等价，而s又可由向量组1,2,,t线性表示，故有sh11h22hs1s1hsshtt，而题设1,2,,s是线性无关的，故有hs,hs1,,ht不全为零，设hs0，则

shhhh111s1s1ss1s1tt hshshshshs因此，1,2,,s,t与1,2,,s1,s,,t等价。由上述分析可知，当st,ms时结论成立。由数学归纳法知命题成立。

22

3.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法

定义3.4 设1,2,,n是数域上n维向量空间V的一组基，1,2,,m是V中任意

[12]

m个向量，而i在基1,2,,n中的坐标是i(i1,i2,,in)i1,2,,m

a11a12令Aa1n[12]

a21am1a22am2则把叫做向量组1,2,,m在基1,2,,n下的坐标矩

a2namn阵，显然此定义下的坐标矩阵是唯一的。

定理3.6 设1,2,,n是数域F上n维(n0)向量空间V上的一个基，1,2,,m是V中的任意m个向量，令A(aij)mn是向量1,2,,m在基1,2,,n下的坐标矩阵，则1,2,,m线性相关的充要条件是秩Am。

证明：构造V到F的一个映射f，xi,iV，有f()(x1,x2,,xn)

ni1n容易验证f是V到Fn的一个同构映射，于是1,2,,m线性相关的充要条件是

f(1),f(2),,f(m)线性相关。由定理5知，f(1),f(2),,f(m)线性相关的充要条

件是它们的秩m。

定理3.7 n维向量空间V中向量的线性关系不依赖于向量组的坐标矩阵的选取。

[12]

证明：设1,2,,n和1,2,,n都是V的基，由基1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵是。设1,2,,m是V中任意m个向量，它在基1,2,,n和

1,2,,n下的坐标矩阵分别是A(aij)mn和B(bij)mn

由定理5知，要证定理6只需证秩=秩。 由题设条件可以得到如下等式：

(1,2,,n)(1,2,,n)T (3-4) (1,2,,m)(1,2,,n)A (3-5) (1,2,,m)(1,2,,n)B (3-6)

把(3-4)代入(3-6)中，(1,2,,m)(1,2,,n)B(1,2,,n)TB (3-7)

23

比较(3-5)和(3-7)得：(1,2,,m)(1,2,,n)A(1,2,,n)TB

于是和都是向量组1,2,,m在基1,2,,n下的坐标矩阵，由坐标矩阵的唯一性可得：

因为T是可逆矩阵，于是秩=秩()=秩。

24

第四章 向量组线性相关的具体应用

4.1 引言

曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。经过30多年的发展，它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。

在80年代后期，参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法，尤其形成了NURBS 理论，使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法。但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展，参数曲面的局限性也越来越明显。

通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时，需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片，无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接，这是很困难的。对于影视动画领域的活动模型，需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面。

细分方法正是在这种情况下迅速发展起来，其基本思想是：采用一定的细分规则，在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点，从而不断细化出新的网格。重复运用细分规则，在极限时，该网格收敛于一个光滑曲面。细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面，它具有以下优点：适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小。

正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点，现已广泛应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域。Loop细分网格具有局部性质，如果移动初始网格上的一个顶点，在最终细分网格或细分曲面上，只会在邻近该顶点的有限区域内发生改变。现有的细分模式主要分为插值和逼近两类，Doo-Sabin，Catmull-Clark 和Loop模式属于逼近模式，Kobbelt、3、蝶型模式以及改进的蝶型模式属于插值模式。 然而，用以上所有细分模式对模型进行细分的过程中，如：Loop方法的细分规则是一分为四，每一层都是全局均匀细分的，随着细分次数的增多，网格的面片数呈指数级增长。而在实际应用中通常只需对不平坦或曲率较高的区域进行细分，使这部分区域更加光滑或者达到用户需要的曲面形态。对一块原来已光滑的区域，再细分也不会得到明显的效果，只会增加数据量；当模型较大时，过多细分不但会给计算机的处理能力增加负担，而且还会影响模型的处理速度，使模型难以控制并影响后续操作。解决这类问题的办法是在细分某一层时，根据实际需要进行误差检测，在满足精度的范围内确定哪些区域不再参与细分，尽可能以相对较少的面片来逼近目标曲面，这就是自适应细分所要达到的目的。

所以根据线性代数中的判别准则：当空间3个向量线性相关时，则这3个向量在同一平面上， 提出了一种新的Loop自适应细分方法。它利用顶点的局部信息来衡量该顶点的1邻域是否平坦进而决定该区域是否参与细分。向量线性相关的充要条件是三者组成的行列式的值为零。然而，在曲面模型上，三个紧邻边组成的向量不可能严格地落在同一个平面上，通过测试过同一顶点的各组三条紧邻边所构成的三维向量的行列式的平均

25

值是否趋近于零，来判断此顶点的1邻域是否平坦，从而断定此顶点是否参与细分。在此，可用微分几何中向量函数的极限来证明该理论成立。该算法的速度比传统顶点平坦度算法的速度有所提高。 4.2 Loop细分模式

1987年Utah大学的Loop提出一种基于三角网格的面分裂细分模式，所生成的曲面是盒式样条曲面的推广。通过对非三角网格进行三角化处理，Loop模式也可以应用于任意多边形网格。它是一种逼近的细分模式，所生成的曲面在正则曲面上是C2连续，在奇异点处是C1连续。Loop模式采用1-4三角形分裂。

为了说明Loop细分方法所涉及的变量和名词，在这里统一做出以下规定： 奇点：当前网格上新插入的点；

偶点：从前一层网格上继承下来的点； 价： 网格中每一顶点连接的边数；

正则点：网格上价为6和边界上价为4的点；否则为奇异点； 正则网格：没有奇异点的网格；

模板：计算顶点位置时各顶点加权值的图示表；

顶点1—邻域：由该顶点的紧邻三角形组成的三角网格集；

大写的字母V并带有数字下标的都表示顶点，小写字母n并带数字下标的表示向量，

[13]

小写字母x、y、z并带数字下标的表示顶点3个坐标，大写字母N表示顶点法向量，k表示顶点的价。

Loop细分模式各种顶点的模板如图4-1所示：

图4-1 loop细分模式模板示意图

内部奇点V的计算如下： 内部偶点V的计算如下：

26

k13v03v1v2v3V V(1kk)VkVi 8i0设V的邻接顶点V0,,Vk1，k是顶点V的价，的定义如下：

3(k3)161(5(31cos2)2)kk884

(k3)边界上的奇点和偶点，可用图1中(c)、(d)的模板来计算。 4.3 自适应细分曲面

自适应细分只选那些不光滑和曲率相对较高的曲面区域进行细分。到目前为止，已

经有人对此做了大量研究，提出了很多自适应方法，常见的有：按网格面间夹角(或网格面法向间的夹角)，以二面角方法最多；按控制顶点V与它的极限位置V间的距离，其中包括欧氏距离准则、顶点极限距离准则、边点极限距离准则、1邻域顶点到它的极限顶点法平面距离准则等；顶点曲率准则；顶点平坦度准则。 4.3.1 向量相关性的几何意义

[13]

在三维空间中，一个非零向量是线性无关的。设两个非零向量1,2线性相关，那么1可以由2线性表示，即1k2(k是不为零的常数)，则这两个向量在同一条直线上；否则它们线性无关，那么这两个向量不在过原点的同一直线上，则确定了一个平面。当非零向量3在1,2确定的平面上时，那么3可写成1,2的线性组合，它们线性相关，则在同一个平面上(如图4-2所示)；否则它们线性无关，确定了一个三维空间。

图4-2 三维空间中3个向量线性相关

向量线性相关的充要条件为它们组成的行列式为零。

27

4.3.2 顶点平坦度

该文提出另一种以顶点平坦度作为阈值标准的自适应细分方法。对网格模型上的一个顶点来说，过同一顶点的两条边确定了一个平面，如果可以判断过该顶点的第三条边也在这个平面上，这三条边所组成的向量就线性相关。再依次前进判断上两条边和紧邻的那一条新边是否也在同一平面上，反复迭代，直到回到第一条边，这样顶点V的1邻域上所有相邻的三条边都参与了运算。图3为顶点平坦度的示意图，计算公式为

F(V)F2(V)F(V)lim10

tt0k1其中，F1(V)，F2(V)分别为

F1(V)ni1i0k2nini2nk2(ik2) F2(V)nk1n0(ik2,k1)

niVVi(xxi,yyi,zzi)

图4-3 顶点平坦度定义的示意图

然而，网格模型是曲面的，不可能严格的在一个平面上。如果F(V)小于一个给定的阈值，趋于零的话，就可以认为这个顶点V是平坦的，不再参与细分。如果考虑

的是顶点法向和顶点1邻域各面片法向量的夹角，需要计算顶点法向量和各三角面法向量，而该算法只计算三维向量的行列式，相对更简单。用该算法对那些不平坦或者是高曲率的区域进行细分。 4.3.3 算法的具体步骤

为了更简洁地描述本算法步骤，定义几个相关概念。如果三角网格中某个顶点的平

28

坦度满足给定的阈值，则称该点为死点，否则称其为活点。当三角形一条边的两个端点都为死点时，称该边为死边，其余情况称为活边。如果三角形的三个顶点都为死点，则称该三角形为死面，其余情况称其为活面。该算法利用顶点的局部信息来决定该局部区域是否参与下层细分。初始时，所有的控制点、三角形的边和三角形本身都分别标记为活点、活边和活面。在具体细分某个三角形时，其分裂的形式由其所含死边的个数(Degree of deadness, Dod)决定。死边不再插入新点。通过设置阈值来控制其自适应细分过程。 基于顶点平坦度的自适应细分算法的具体步骤如下： (1) 遍历网格模型所有顶点，计算出每个顶点的价。

[13]

(2) 根据式(4-1)计算各个顶点的平坦度F(V)，如果F(V)满足给定的阈值ε，则标记其为死点。

(3) 由三角形所含死点的情况，标记该三角形的死边和活边，并标记该三角形为死面还是活面。

(4) 产生奇点(新点)。对于死边，不在其上插入新点。对于活边，新点的插入及方式和计算位置采用的模板与Loop细分模式一样。

(5) 产生新面。对于死面，由于其含有死边的个数(Dod)至少为2，不再将其分裂，如图4(d)所示。对于活面其分裂的方式又可分为两种：

·当Dod=0时，该活面采用Loop细分分裂成4个小三角形，如图4(a)所示。

·当Dod=1时，不在死边插入新点，新的三角形生成方式取决于另外两条边端点的平坦度大小。图4(b)为V1的平坦度大于V2时的新面生成方式，图4(c)为V1的平坦度小于或等于V2的处理方式。

(6) 更新所有偶点的位置。采用的模板与通常的Loop细分相同。 (7) 进行下次细分，直至满足用户需要。

29

图4-4 三角形分裂的4种情况

4.4 实验结果与分析

表4-1在给定同一阈值的情况下对比了这两种方法的实验结果。从表4-1中可以看出，传统方法经三次细分所得的面片数多于该文方法的，但两者差距不是很大(最多为247个)。由于该文方法计算简单，细分次数越多，速度上的优势越明显。

30

表4-1 两种方法的实验结果对比

4.5 小结

根据过同一起点的3个向量线性相关在同一平面上的原理，提出了一种新的自适应细分方法，即对网格模型1邻域上过同一顶点的所有3个紧邻边组成的3个向量计算其是否线性相关来判断该顶点的1邻域是否光滑，从而进一步判断该顶点是否参与细分。实践证明该方法是有效的，可应用在复杂表面建模和细化，有效地对模型局部进行快速逼近。

31

结论与展望

本章对全文的内容及意义进行了总结并对以后的研究工作进行了展望。 1)全文总结

本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行研究，从而等到一些基本的判定方法，在具体的问题中应用这些判定方法，可以迅速得到解答，也得到了一些结果和认识。

本文的研究成果及意义可概括如下：

1. 介绍了向量组线性相关的定义及其重要性质及定理，让我们更加深刻的了解向量组的线性相关。从中又给出了判定向量组线性相关的多种方法，在以后解决具体问题时有一定的帮助。

2. 在得到了向量组线性相关的基本判定方法的基础上，通过深入研究和递推，得出了几种特殊的判定方法，例如反证法，利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定的方法等。

3. 在基于推出的判定向量组线性相关性的若干方法的基础上，运用这些知识我们可以在各种证明题和解答题中加以运用。

2)今后的工作展望

针对本论文展开的研究内容及所取得的结果可以看出，还有一些问题有待于进一步深入研究：

1.如何寻求新的判定方法来实现对向量组线性相关性的判定。 2.在实际问题中我们可以通过对具体问题的抽象，将问题转化成判断向量组的线性相关性或线性方程组是否有解的问题。

32

致 谢

四年的学习生活转瞬即逝，回首过去，感慨万千，这其中的点点滴滴都将成为我人生中美好的记忆，在求学的道路上幸有良师的指导，学长的勉励，同窗的关怀，以及家人的支持，使我求学之路走的平坦。

值此论文完成之际，我要向我尊敬的导师 老师致以最衷心的感谢。他严谨的治学态度、丰富的学识和谦虚的为人一直激励我勤奋踏实地学习，催我奋进，是他不断的鼓励与亲切的指导给了我信心并帮我指引了研究方向，进而顺利完成了论文写作，使我受益非浅。

在学习期间和论文的撰写过程中，受到了身边许多同学所给予的关心、支持和帮助。他们的刻苦谦虚的求学精神和学习风貌也一直激励着我，让我有想更好完成论文的决心，在此我十分感谢与敬佩他们！

在成长的道路中，我首先还得感谢生育养育我的父母，是他们含辛茹苦地抚养我。让我有机会在这大学中学习很多宝贵的知识以及做人做事的道理。在大学四年的学习中，同寝室的室友之间的帮助以及对我的鼓励让我顺利完成大学四年的学习。我非常感谢她们。还有班里的其他等同学也给了我很多的支持与帮助，大家共同学习，度过了四年难忘的时光，在此也感谢他们。

我的亲人和我身边朋友对我的支持也是至关重要的，我感谢他们。

感谢评阅、评议本科毕业论文和出席本科毕业论文答辩会的各位专家学者，感谢他们在百忙中给予的批评指正和宝贵意见。

最后感谢所有帮助过、关心过、支持过我的人，在此我要说声：谢谢！

作者：

2009年5月30日

33

参考文献

[1] 杨燕新，王文斌．关于向量组线性相关的几种判定[J]．山西农业大学学报，8151(2005），292-294

[2] 罗秀芹，董福安，郑铁军．关于向量组的线性相关性的学习探讨[J]．高等数学研究，9(2005)，18-19

[3] 李先富，胡劲松．判断向量组线性相关性的另一种方法[J]．四川理工学院学报（自然科学版），9(2005)，94-95

[4] 肖艾平．向量组线性相关性的几种判定方法[J]．伊犁师范学院学报（自然科学版），3(2008)：58-59

[5] 栾召平．证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2（2002）：61-62 [6] 张文彬，余建坤．利用初等变换求极大线性无关组[J]．云南民族学院学报（自然科学版），l(2003)：12-15

[7] 同济大学应用数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2004．89 [8] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．（第2版）北京：高等教育出版社，1988，271

[9] 米涌，梁旭，吴伏娜等．不同类型糖代谢紊乱与老年危重病人APACHEⅡ评分相关性分析[J]．论文天下论文网，2007

[10] 王洪林，王春梅. 相同的线性相关性在线性代数中的应用[J]．河北工程技术高等专科学校学报，1(2001)：43-45

[11] 彭立新,姜淑莲.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J]．荆门职业技术学院学报，2001，16(6)：55-57

[12] 王艳艳，张荣国，王蓉，孙博，刘焜.向量线性相关的三角网格自适应Loop 细分方法[J]．工程图学学报，1(2009)：92-96 [13]李珍珠．有限维向量空间中向量的线性相关的判别法[J]．零陵师专学报，1994：80-81 [14]E.K.Loginov．On Linear Representations of Analytic Moufang Loops[J]．Mathematical Notes，2003，73(3)：424-428

[15] O. V. Kaptsov．Invariant tensors and partial differential equations[J]．Siberian Mathematical Journal，2006，47(2)：258-268

34

附录A 外文文献及翻译

35

36

37

38

39

解析Moufang循环的线性三个代表

关键词：解析Moufang环；替代代数；Mal _tsev代数；线性表示；双模；四元代数；凯莱-迪克森代数。

1.引 言

一个循环是二元体系G单位元素，例如，对于任何一组a,bG,有且只有一组a,b是方程组ax=b和ya = b的解。该Moufang循环区别于同类所有循环的特性

abcaa(bca),(cbc)ac(bca),a(bcb)(abc)b (1)

这分别被称作Moufang循环的中央性、在左性和在右性。我们知道，这组循环中的任意两个循环都能推导出第三个循环。一个Moufang循环的结构使得一个解析的Moufang循环是一个多重解析方法就像乘法也是一种解析方法一样。在这里我们用一种本质的方法来分析Moufang循环。

Moufang循环因为自身的特性而与替代代数密切相关。

x2yx(xy)，yx2(yx)x.

凯莱－迪克森代数就是一个著名的替代非结合代数。下面让我们来回顾一下它的结构：

xx(在这里和下面我们认为有限维代设A是定义在平方集F中的一个代数，

数的单位特征为0)。设F(0)，在向量空间AA，我们定义如下的乘法运算

(x1,y1)(x2,y2)(x1x2y2y1,y2x1y1x2)

由此产生的代数(A,)被称作A通过凯莱-迪克森运算得到的代数。显然，A是嵌入到(A,)且以(A,)为中心的，dim(A,)2dimA。

设e(0,1)，然后令e2且(A,)AAe。对于在(A,)中的一个任意元素

zxye，我们设zxye，然后设zz是代数(A,)的乘方扩大为A的乘方。通过这种方式，下面的替代代数便可依次获得：

（1） F集；

（2） C()(F,)，若多项式x2被包含在F集内；否则C()FF; （3） 广义四元代数H(,)(C(),)；这种代数是相联系的但不是相交换的；

40

（4） 凯莱－迪克森代数O(,,)(H(,),)。构建替代代数的归纳过程 (1)—(4)类型的代数被称作组成代数，它们中的每一个都存在一个非退化二次型（规范）n(x)xx满足等式n(xy)n(x)n(y)。特别是，在R集上的实数，构建了上述列举的三个分裂代数(if 1)和四个可除代数(if 1)，即R集，复数集C，四元代数H，和凯莱代数O欧式范数n(x)x。另外，任何简单的非结合替代代数与凯莱－迪克森代数O(,,)同构3。

这组定义在R集上的所有可逆元素的有限维替代代数A与乘法密切相关且产生了解析Moufang循环的概念。其切线代数与代数A的交换代数A()是同构的。如果A是个替代非结合代数，则交换代数A()就不再是个李代数。这个代数，不同于

Jacobi特征，我们称之为Mal，tsev特征

J(x,y,xz)J(x,y,z)x，

J(x,y,z)(xy)z(yz)x(zx)y是x，y，z元素的雅克比函数，并且具有Sagle特征

(xyz)t(yzt)x(ztx)y(txy)z(xz)(yt)

Mal，tsev特征和Sagle特征是等同的。一个反交换代数满足这样的特征被称作Mal，tsev代数。

Mal，tsev代数与替代代数是密切相关的。例如，任何简单非李Mal，tsev代数是和商代数A()/F1，其中A是F集上的凯莱－迪克森代数。特别是，存在一个独特的(最多同构)简单紧凑非列的在R集上的Mal，tsev代数。它有7个面并且与商代数

O()R1同构。一个半代数A分解到李中心N(A)和有雅克比函数生成的J(A)，然

后直接组成AN(A)J(A)。另外，N(A)是一个半单理代数，J(A)是一个直接有简单非李Mal，tsev代数组成的集合。

在局部的解析Moufang循环和实Mal，tsev代数之间，有一个对应类似于在局部

41

李群和李代数之间的经典李映射。这些结果能完全结转积分解析Moufang循环。即存在着一个独特的(最多同构)只需连接组成分析Moufang循环G与给定切线

Mal，tsev代数，和任何连接解析Moufang环的相同，切线代数可由一个独立的中央正规子群中得到。任何仅连接半Moufang环分解成一个直接产物半单Lie群和简单的非列Moufang循环，每个同构分析的空间S7，S3R4，和S7R7。实际上，一个简单的连接非结合的Moufang循环与一组在R集或者C集上的凯莱－迪克森代数的准则1的元素同构。

2 设是一类定义在F集上的线性代数。假设对某个代数A和一个定义在F集上的向量空间M，定义如下规则

(p,):AM。根据这个规则，向量空间上A，M的直接总和AAM由乘

法定义可以转化成一个代数。

(a,x)(b,y)(ab,xbya) (3)

由此得到的代数A称作代数A，M的分裂零扩展。如果代数A属于类，那么

~~M就是在类中代数A(或一个单元)的双模，并且令(,)是在类中的代数A的一个birepresentation(或只是一个代表性)。显然，双模和birepresentation可以相互决定。它往往是使用方便的简短符号xa和ax，而不是上面介绍的xa和xa。

有且仅有一个定义在替代代数A上的双模M是一个替代的A－模，分裂零扩展的代数A，有如下的关系

(a,b,x)(x,b,a)(a,x,b)(b,x,a)

~这里我们认为a,bA，xM，(a,b,x)被定义为abxabx。例如，替代双模是一个在替代代数和在联想组成代数上的凯莱－迪克森双模上的规则双模。位于A上的凯莱－迪克森双模被定义作A的子模Ae，且Ae由(A,)AAe组成，和

是在(A,)通过左乘和右乘A而得到的。这是另外一种定义凯莱－迪克森双模的

方法。即我们令MA并且分别用a和a右乘A来定义算子和。

我们知道，任何一个替代双模大于一个半替代代数就会被完全还原；任何一个束缚双模大于一个替代代数也就是一个关联双模；一个在凯莱－迪克森代数上的常规子双模，或者一个在凯莱－迪克森双模上的子双模大于广义四元数。

按照Sagle的特征(2)，对于任意一个x,y,zA，如果

42

xyzxyzzxyyzxyzx，则线性关系:AM就被称作代数A的Mal，tsev表示。在这种情况下，M就是所谓的Mal，tsevA－模。由于代数A是不能交换的，则Mal，tsevA－模这一概念等同于双模。

众所周知，任何代表性的半Mal，tsev是可以完全还原的，任何一个不可还原的双模是要么是个李双模，一个规则的在简单非联系的Mal，tsev代数，或者一个就像

(a)a这样的2维sl(2,F)模，在这里a是矩阵asl(2,F)的伴随矩阵。

3 线性代数的特征这个概念是很容易联想到Moufang循环。假设M是一个定义在

~F集上的线性空间，对aG而言(a,a)是M的可逆线性变换。在GGM集中，我们按照(3)来定义乘法，如果有如下规则(,):GAutM，这样得到的群G也是种Moufang循环，向量空间M被称作是个G模，并且规定(a,a)是G环的线性表

~示。如果G是个解析Moufang环，另外我们能得到G环也是解析的。一下断言是众所周知的【17，18】。

命题1对所有的a,bG，xM，当且仅当(a)(a,b,x)是斜对称；(b)x(bab)(xba)b且(aba)xa(bax)，则规则(,):GAutM就被称作Moufang循环G的线性表示。

命题2 任何一个Moufang循环G的束缚G模是某些不可替代双模的一个子模。 命题3 任何分析Moufang循环是嵌入循环可逆因素的一些替代代数的实数域。 设G是一个连通解析Moufang环，并设G是一个局部与G同构的简单连接环。假设切线代数AG有个表示法AGM。这就表示代数AG的分裂零扩展AGAGM是一个Mal，tsev代数。因此，我们可以利用CampbellHausdorff系列法则

~111xyxy[xy][x[xy]]构建相应的局部Moufang循环U和U。 xyy21212 BnBn我们用如下等式x(x)和xn(x)n来定义规则

n0n!n0n!(,):GAutM，在这里Bn是Bernoulli数，yx[yx]。显然，算子x和x是解

析和可逆的，并且符合命题1的假设。因此，(,)是局部环U的一个表示。

43

现在，设G是一个简单连接解析Moufang循环局部同构于U环。显然，G环是包含子环G的。对任何元素gi,gjU，左右Moufang特征暗示了如下特征

~~~gggggg，gggggg。由于一个连接环是任何单位附近的元素的

ijiiji1jiiiji1代数产生的，G的乘法可用(3)的形式来表示，元素a和b在G环中而且算子b和a是有算子gi和gi产生的。因此我们定义(,):GAutM来表示G环。

相反，假定G环有个表示法(,):GAutM，这个表示法是由

命题3暗示G环可被某些替代代数A的可逆元素组成(,):GAutM转化来的。

的A*所嵌入，嵌入的GA*可由:AGA()推导出。我们令。

~~:AGEndM的组成是代数AG的一种表示法。因此，下面的定理是有效的。

定理1.任何一个解析Moufang环的G模是它的切线代数的一个AG模。与之相反，任何一个定义在实数集上的Mal，tsev代数AG的一个AG模都是一个G模，而这个G模是一个简单连接解析Moufang环G局部地同构于G。

这一定理和命题2暗示着下面的定理

定理2.任何一个半解析Moufang环的表示法都是可以完全还原的。任何一个解析Moufang环G的不可逆G模要么是一个可替代的双模，要么是一个不可逆的

Mal，tsev双模。

44

参考文献

45

附录B 主要参考文献的题录及摘要

[1] 【题目】关于向量组线性相关的几种判定 【作者】杨燕新, 王文斌

【关键词】线性相关；行列式；矩阵；克莱姆法则

【摘要】向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握。实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的, 我们只要掌握了向量组的线性相关的判定, 线性无关的判定也就没有问题了。因此,将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定, 从而导出八种关于线性相关与线性无关的判定方法。

[2] 【题目】利用初等变换求极大线性无关组 【作者】张文彬，余建坤

【关键词】极大线性相关性；初等变换

【摘要】在线性空间中，极大线性无关组的概念是一个重要的概念，求极大线性无关组也就成为一个重要内容之一。 目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大的, 故一般不采用此法，因此，给出利用矩阵的初等变换求极大无关组的方法，并从理论上加以证明。此法简单易行，且计算量小。

[3] 【题目】关于向量组的线性相关性的学习探讨 【作者】罗秀芹，董福安，郑铁军 【关键词】向量组；线性相关性

【摘要】n维向量及其线性相关性这部分内容的定义、定理多，往往使人抓不住要领，本文将其归纳为以下三大类问题，可针对每类问题学习、应用相对应的定义、定理，并介绍解决问题的思路、方法。

[4] 【题目】证明向量组线性相关性的几种方法 【作者】栾召平

【关键词】向量组；线性相关；线性无关

【摘要】向量组线性相关性概念较抽象，等价命题多而易混，使“证明问题”成为教与学的难点。抓住关键，突出重点，归纳出证明向量组线性相关性问题的几种方法，可以解决其难点。本文主要采用定义法、方程组法、矩阵秩法、反证法和数学归纳法来解决有关向量组线性相关性的证明问题。

[5] 【Title】Independence of linear forms with random coefficients 【Author】G. P. Chistyakov1 · F. G¨otze1

【key words】Vectors group；Related dependence；

【Abstract】We extend the classical Darmois–Skitovich theorem to the case where the linear forms Lr1U1X1UnXn and Lr2Un1X1U2nXn have random

46

coefficients U1,,U2n. Under minimal restrictions on the random coefficients we completely describe the distributions of the independent random variables X1,,Xn

and U1,,U2n such that the linear forms Lr1 and Lr2 are independent.

[6] 【Title】Taylor formula for homogenous groups and applications 【Author】Andrea Bonfiglioli

【key words】Determinant；Judging method；Matrix；

【Abstract】In this paper, we provide a Taylor formula with integral remainder in the setting of homogeneous groups in the sense of Folland and Stein (Hardy spaces on

homogeneous groups. Mathematical notes, vol 28. Princeton University Press, Princeton, 1982). This formula allows us to give a simplified proof of the so-called ‘Taylor

inequality’. As a by-product, we furnish an explicit expression for the relevant Taylor polynomials. Applications are provided. Among others, it is given a sufficient condition for the real-analiticity of a function whose higher order derivatives (in the sense of the Lie algebra) satisfy a suitable growth condition. Moreover, we prove the ‘L-harmonicity’ of the Taylor polynomials related to a ‘L-harmonic’ function, when L is a general

homogenous left-invariant differential operator on a homogeneous group. (This result is one of the ingredients for obtaining Schauder estimates related to L).

[7] 【题目】向量组线性相关性的几种判定方法 【作者】肖艾平

【关键词】线性相关；线性无关；齐次线性方程组

【摘要】在线性代数的学习中，向量线性相关性的判定很难理解和掌握. 向量线性相关性是线性相关和线性无关的统称，而向量组的线性相关和线性无关是相对的，只要掌握了向量组的线性相关的判定，向量组的线性无关的判定就同时解决了。将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性相关性判定，归纳出六种判定向量组线性相关性的方法。

[8] 【题目】判断向量组线性相关性的另一种方法 【作者】李先富，胡劲松 【关键词】秩；向量组

【摘要】给出了判断向量组线性相关与线性无关的一个新方法，该方法简单、适用。同时指出，该方法也适用于求向量组的秩。用本文的方法来判断其线性相关性的过程就更加方便，从而更能体现该方法的优越性。这种方法由于只用到矩阵的初等变换，所以操作简单。

[9] 【题目】单参变量向量组线性相关性的一个判定条件 【作者】彭立新,姜淑莲

【关键词】参变量；矩阵；线性相关

【摘要】本文将借助于矩阵的初等行变换方法，利用矩阵的秩，给出了含有一个

47

参变量的向量组的线性相关性的判定条件。本文将通过初等行变换的方法，可以给出在含有单参变量的向量组中，其参变量取何值时，向量组的线性相关性，若向量组线性相关，还可得到向量组的一个极大线性无关组，且其它向量用这个极大线性无关组线性表出的关系式。

[10] 【题目】相同的线性相关性在线性代数中的应用

【作者】王洪林，王春梅

【关键词】向量空间；线性相关；线性无关

【摘要】线性代数主要研究的是线性问题。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。.

[11] 【题目】也谈线性相关与线性无关

【作者】吴景珠，邢秀芝

【关键词】线性相关；线性无关

【摘要】常微分方程中谈到函数组的线性相关与线性无关，实际上是线性代数中向量组的线性相关与线性无关概念的推广二者在性质上也类同，需要说明的是本文将给出函数组的线性相关与线性无关具备的不同于线性代数中的新性质及其推论。

[12] 【题目】有限维向量空间中向量的线性相关的判别法

【作者】李珍珠

【关键词】向量空间；线性方程组

【摘要】本文用线性方程组的理论论证了Fn中向量的线性相关性的两种判别法行列式法和秩法, 从而进一步给出了有限维向量空间中向量的线性相关性的判别法。

[13] 【题目】向量线性相关的三角网格自适应Loop细分方法

【作者】王艳艳，张荣国，王 蓉，孙 博，刘 焜 【关键词】线性相关；自适应Loop细分；三角网格

【摘要】根据过同一起点，且线性相关的三个向量在同一平面上的原理提出了一种新的三维表面自适应Loop细分算法，即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦，从而进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上，当这些向量组成的行列式值趋于零时，便认为它们在同一平面上。实验表明，该方法减少了细分的数据量和处理速度。

48