概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案

1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差已知为150h，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h？解：总体X～N(,1502)，检验假设为

H0：1600，H1：1600．

采用U检验法，选取统计量U

X0，

0/n当H0成立时，U～N(0,1)，由已知，有x1637，n26，0.05，查正态分布表得u0.0251.96，该检验法的拒绝域为{u1.96}．

将观测值代入检验统计量得u

1637160037

1.2577，29.42150/26显然u1.25771.96，故接受H0，即可认为这批产品的指标为1600h．2．正常人的脉搏平均为72次/min，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：

54，67，68，78，70，66，67，70，65，69

设脉搏服从正态分布，问在显著性水平0.05下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？

解：本题是在未知方差2的条件下，检验总体均值72．

取检验统计量为检验假设为

H0：072，H1：72．

T

X0，S/n当H0成立时，T～t(n1)，由已知，有x67.4，s5.93，0.05，查t分布表得t0.025(9)2.262，将观测值代入检验统计量得

t

x067.4724.6

2.45，

1.88s/n5.93/101显然t2.4472.262t0.025(9)，故拒绝H0，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．

3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计x0.452%，s20.0372，该溶液中的水分含量X～N(,2)，与2未知，试问在显著性水平0.05下该溶液水分含量均值是否超过5%？

解：这是在总体方差2未知的情况下，关于均值的单侧检验．检验假设为

H0：0.5%，H1：0.5%．

此假设等价于检验假设

H0：0.5%，H1：0.5%．

由于2未知，取检验统计量为T

X0．S/nx0t(n1)}，s/n当H0成立时，T～t(n1)，拒绝域为{将观测值代入检验统计量得

t

x010(0.520.5)

1.709，

0.037s/n由0.05，查t分布表得t0.05(9)1.833，显然t1.7091.833t0.05(9)，所以接受H0，即该溶液水分含量均值是否超过5%．

4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果x30.97，y21.79，

2s1226.7，s212.1．设甲、乙品种产量分别服从正态分布N(1,2)和

N(2,2)，试问在0.01下，这两种品种的产量是否有显著性差异？

解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．

检验假设为

H0：12，H1：12．

2由题可知，1222未知，因此取检验统计量

2T

XY2(m1)S12(n1)S2mn(mn2)，

mn当H0为真时，T～t(mn2)，该检验法的拒绝域为{tt/2(mn2)}．

2由题设，mn10，x30.97，y21.79，s1226.7，s212.1．

将其代入检验统计量得

t

xy2(m1)S12(n1)S2mn(mn2)30.9721.791010184.66，

mn20926.7912.1由0.01，查t分布表得t/2(mn2)t0.005(18)2.878．

显然t4.662.878t0.005t(18)，因此，拒绝H0，即这两种品种的产量有显著性差异．

5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X～

N(18,0.42)，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：

18.0，17.6，17.3，18.2，18.1，18.5，17.9，18.1，18.3

在显著性水平0.05下，试问：(1)该天罐装是否合格？

(2)罐装量精度是否在标准范围内？

解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设

H0：18，H1：18，

由于方差20.42已知，取检验统计量为U

X0，

0/n当H0为真时，U～N(0,1)，该检验法的拒绝域为{uu/2}．由题可知，n9，x18，将其代入检验统计量得

u

x01818

0，

0/n0.4/9由0.05，查标准正态分布表得u0.0251.96，显然，u01.96u0.025，故接受H0，即该天罐装合格．

3(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设

H0：20.42，H1：20.42，

此假设等价于

H0：20.42，H1：20.42．

由于18已知，选取检验统计量为

21

02(X

i1ni18)2，

2(n)}．当H0为真时，2～2(n)，该检验法的拒绝域为{2由已知计算得

21

02(x18)

i1in226.625，查2分布表得0.05(10)18.307，

2由此知26.62518.3070.05(10)，故接受H0，即罐装量精度在标准范围内．

6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差21600h2的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得s22500h2，问在显著性水平0.05下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？

解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为

22，H1：20，H0：20其中1600，取检验统计量为

202(n1)S22．

当H0为真时，2～2(n)，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为

2{212/2(n1)}或{2/2(n1)}．

将观测值s2500代入检验统计量得对于0.05，查2分布表得

22(n1)s22

242500

37.5．

1600

2212/2(n1)02.975(24)12.401，/2(n1)0.025(24)39.364，222由于0.975(24)12.40137.539.3640.025(24)，

故接受H0，即这批电池的波动性较以往无显著变化．

47．某工厂生产一批保险丝，从中任取10根试验熔化时间，得x60，s2120.8，设熔化时间服从正态分布N(,2)，在0.01下，试问熔化时间的方差是否大于100？

解：本题是在均值未知的条件下，检验2是否大于100，是关于2的单侧检验问题．

检验假设为

H0：2100，H1：2100，

此假设等价于

H0：2100，H1：2100，

这是左侧检验问题，取检验统计量为

2(n1)S220，

当H0为真时，2～2(n)，该检验法的拒绝域为{212(n1)}．

2100，s2120.8，代入上述统计量得将n10，0

2(n1)s202

9120.8

10.87．1002对于0.01，查2分布表得0.99(9)2.0879，

2显然210.872.08790.99(9)，接受H0，即熔化时间的方差大于100．

本题如果将检验假设设为

H0：2100，H1：2100，

2(n1)}．即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为{22对于0.01，查2分布表得0.01(9)21.666，

2显然210.8721.6660接受H0，即熔化时间的方差不大于100．.01(9)，2注：若选取的显著性水平为0.3，用MATLAB计算得0.3(9)10.6564，从而2有210.8710.65640.3(9)，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于100．

5上述结果说明了在观测值接近临界值时，原假设不同的取法会导致检验结果的不一样，如果用p值检验法则可避免上述矛盾．

8．设有两个来自不同正态总体的样本，m4，n5，x0.60，y2.25，

2s1215.07，s210.81．在显著性水平0.05下，试检验两个样本是否来自

相同方差的总体？

2解：记两正态总体为N(1,12)和N(2,2)，其中1和2未知．检验假设为

22，H1：122．H0：122S12取检验统计量为F2，

S2当H0为真时，F～F(m1,n1)，该检验法的拒绝域为

{FF1/2(m1,n1)}或{FF/2(m1,n1)}．

由题可知，0.05，m4，n5，将观测值代入检验统计量得

s1215.07F21.39，

s210.81查F分布表得F1/2(m1,n1)F0.025(3,4)9.98，

F/2(m1,n1)F0.975(3,4)

11

0.066．

F0.025(4,3)15.10

由此知F0.975(3,4)0.0661.399.98F0.025(3,4)，观测值没有落入拒绝域内，接受H0，即两个样本来自相同方差的总体．

9．某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min．现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min，样本标准差为30min．问抽样的结果是否支持该管理员的看法？(0.05)．

解：这是非正态总体均值的检验问题，用X表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为，依题意，检验假设为

H0：90，H1：90．

6由于n100为大样本，故用U检验法．总体标准差未知，用样本标准差S代替．取检验统计量为U

X90

，

S/100当H0为真时，近似地有U～N(0,1)，该检验法的拒绝域为{uu}．由题可知，x96，s30，n100．

对于0.05，查标准正态分布表得uu0.051.645．将观测值代入检验统计量得u

x909690

2，

s/10030/100显然，u21.645u0.05，故拒绝H0，即平均等待时间超过90分钟，也即支持该管理员的看法．

10．一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看

8h电视．”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字．为此，她向学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间x6.5h，样本标准差为s2h，问是否可以认为校长的看法是对的？(0.05)解：初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验问题．检验假设为

H0：8，H1：8．

由于n100为大样本，故用U检验法，取检验统计量为U

X，S/n当H0为真时，近似地有U～N(0,1)，该检验法的拒绝域为{uu}．由题可知，x6.5，s2，n100．

对于0.05，查标准正态分布表得uu0.051.645．将观测值代入检验算统计量得u

6.58

7.5，

2/100显然，u7.51.645u0.05，故拒绝H0，即初中生平均每周看电视的时间少于8小时，这位校长的看法是对的．

711．已知某种电子元件的使用寿命X(单位：h)服从指数分布E()．抽查100个

元件，得样本均值x950h．能否认为参数0.001？(0.05)解：X～E()，E(X)近似地有U

1

，D(X)

1

2，由中心极限定理知，当n充分大时，

X1/(X1)n～N(0,1)．

1/n由题可知00.001，检验假设可设为

H0：0，H1：0．

取检验统计量为U

X1/0(0X1)n，

1/n0当H0为真时，近似地有U～N(0,1)，该检验法的拒绝域为{uu/2}．由题知，查标准正态分布表知u/2u0.0251.96．n100，x950，0.05，将观测值代入检验统计量得u0.5，显然，u0.51.96u0.025，故接受

H0，即可以认为参数0.001．

12．某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环

境保护条例的厂家不足60%，这位负责人认为应不低于60%，于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家，结果发现有33家执行了环境保护条例，那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题？(0.05)

解：设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p，则检验假设为

H0：p0.6，H1：p0.6，

上述假设等价于

H0：p0.6，H1：p0.6．

引入随机变量

1,抽到的厂家执行环保条例,

X

0,抽到的厂家为执行环保条例.

则X～B(1,p)，E(X)p，D(X)p(1p)，由中心极限定理，当H0为真

8时，统计量U

Xp0X0.6

近似地服从N(0,1)．

p0(1p0)/n0.6(10.6)/60对于显著性水平0.05，查标准正态分布表得uu0.051.645，由此可知P{

X0.6

1.645}0.05．

0.6(10.6)/60以U作为检验统计量，该检验法的拒绝域为{uu0.051.645}．将x

33

0.55代入上述检验统计量，得60u

xp00.550.6

0.791，

p0(1p0)/n0.6(10.6)/60显然，u0.7911.645u0.05，故接受H0，即执行环保条例的厂家不低于60%，也即由他本人的调查结果证明那份报告中的说法有问题．

13．从选取A中抽取300名选民的选票，从选取B中抽取200名选民的选票，

在这两组选票中，分别有168票和96票支持所选候选人，试在显著性水平

0.05下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异．解：这是检验两个比率是否相等的问题，检验假设为

H0：p1p2，H1：p1p2．

取检验统计量为U

ˆ1pˆ2p

11

ˆ(1pˆ)p

nm

，

ˆ其中p

1

(X1X2XnY1Y2Ym)是pp1p2的点估计．nm

当H0为真时，近似地有U～N(0,1)．

由题可知n300，n168，m200，m96，又

ˆ1p

m26416896

ˆ2ˆn0.56，p0.48，p0.528．

300200nm5000.560.480.5280.472

1120由此得统计量的观测值为

u

1.755，

9由P(U1.96)0.05，得拒绝域为{u1.96}，

因为u1.7551.96，故接受H0，即两个选区之间对候选人的支持无显著性差异．

10